已知函數(shù)f(x)=2cosx•sin(x+
π
3
)-
3
sin2x+sinx•cosx
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間；
（2）若函數(shù)f（x-m）為偶函數(shù)，求m的最小正值．
分析：（1）由三角函數(shù)的公式化簡可得f（x）=2sin（2x+
π
3
）由2kπ+
π
2
≤2x+
π
3
≤2kπ+
3π
2
解出x的范圍，即可得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）可得f（x-m）=2sin（2x-2m+
π
3
），由偶函數(shù)的對稱性，求出對稱軸，給k取特值可得滿足條件的m值．
解答：解：（1）由三角函數(shù)的公式化簡可得
f（x）=2cosx（
1
2
sinx+
3
2
cosx）-
3
sin2x+sinx•cosx
=2sinxcosx+
3
cos2x-
3
sin2x=sin2x+
3
cos2x
=2sin（2x+
π
3
），
由2kπ+
π
2
≤2x+
π
3
≤2kπ+
3π
2
，可得kπ+
π
12
≤x≤kπ+
7π
12
，
故f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為[kπ+
π
12
，kπ+
7π
12
]（k∈Z）．
（2）由（1）可得f（x）=2sin（2x+
π
3
），
∴f（x-m）=2sin（2x-2m+
π
3
），
∵f（x-m）為偶函數(shù)，
∴圖象關于y軸對稱，
由-2m+
π
3
=kπ+
π
2
，解得m=-
kπ
2
-
π
12
，k∈Z
∴當k=-1時，m取最小正值為m=
5π
12
．
點評：本題考查三角函數(shù)的計算公式，涉及函數(shù)的單調(diào)性和對稱性，屬中檔題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
2-xx+1
；
（1）求出函數(shù)f（x）的對稱中心；
（2）證明：函數(shù)f（x）在（-1，+∞）上為減函數(shù)；
（3）是否存在負數(shù)x0，使得f(x0)=3x0成立，若存在求出x0；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
2-x-1，x≤0
x
，x＞0
，則f[f（-2）]=
3
3
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=2(sin2x+
3
2
)cosx-sin3x
（1）求函數(shù)f（x）的值域和最小正周期；
（2）當x∈[0，2π]時，求使f(x)=
3
成立的x的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=2-
ax+1
(a∈R)的圖象過點（4，-1）
（1）求a的值；
（2）求證：f（x）在其定義域上有且只有一個零點；
（3）若f（x）+mx＞1對一切的正實數(shù)x均成立，求實數(shù)m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
2-2cosx
+
2-2cos(
2π
3
-x)
，x∈[0，2π]，則當x=
4π
3
4π
3
時，函數(shù)f（x）有最大值，最大值為
2
3
2
3
．

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