Question

已知函數(shù)．
（1）當時，求f（x）在區(qū)間上的最值；
（2）討論函數(shù)f（x）的單調性．

Answer 1

解：（1）當時，
∴
∵x＞0，∴x+1＞0
∴令f′（x）＞0，即，∵x＞0，x+1＞0，∴0＜x＜1；
令f′（x）＜0，即，∵x＞0，x+1＞0，∴x＞1，
∴函數(shù)的遞增區(qū)間為（0，1），遞減區(qū)間為（1，+∞）
∵x∈
∴函數(shù)的遞增區(qū)間為[，1），遞減區(qū)間為（1，e]
∴f（x）在區(qū)間上的最大值為f（1）=-，最小值為f（e）=；
（2）∵函數(shù)，
∴（x＞0）
當m≥0時，f′（x）＞0，函數(shù)在（0，+∞）上單調遞增；
當-1＜m＜0時，，
令f′（x）＞0，∵x＞0，-1＜m＜0，∴0＜x＜；
令f′（x）＜0，∵x＞0，-1＜m＜0，∴x＞；
∴函數(shù)在（0，）上單調遞增，在（，+∞）上單調減；
當m≤-1時，f′（x）≤0，函數(shù)在（0，+∞）上單調遞減．
分析：（1）求導函數(shù)，確定函數(shù)在區(qū)間上的單調性，即可求最值；
（2）求導函數(shù)，對m分類討論，利用導數(shù)的正負，可得函數(shù)f（x）的單調性．
點評：本題考查函數(shù)的單調性，考查函數(shù)的最值，考查分類討論的數(shù)學思想，屬于中檔題．