Question

（2006•上海模擬）某小區(qū)要建一座八邊形的休閑小區(qū)，它的主體造型的平面圖是由二個(gè)相同的矩形ABCD和EFGH構(gòu)成的面積為200平方米的十字型地域，計(jì)劃在正方形MNPQ上建一座觀景花壇，造價(jià)為4200元/平方米，在四個(gè)相同的矩形上鋪花崗巖地評(píng)，造價(jià)為210元/平方米，再在四個(gè)空角上鋪草坪，造價(jià)為80元/平方米．
（1）設(shè)總價(jià)為S元，AD為x米，建立函數(shù)關(guān)系式；
（2）當(dāng)x為何值時(shí)，S最��？

Answer 1

分析：（1）設(shè)矩形的邊長(zhǎng)AD=x（米），AM=y（米），該工程的總造價(jià)為S（元），根據(jù)建一座八邊形的休閑小區(qū)，它的主體造型的平面圖是由二個(gè)相同的矩形ABCD和EFGH構(gòu)成的面積為200平方米的十字型地域可寫出x和y的函數(shù)關(guān)系式．根據(jù)造價(jià)為每平方米4200元，在四個(gè)相同的矩形上鋪花崗巖地坪，造價(jià)為每平方米210元，再在四個(gè)空角上鋪草坪，造價(jià)為每平方米80元，可列出函數(shù)式．
（2）利用基本不等式可求S的最小，當(dāng)且僅當(dāng)x=

10

米時(shí)，取得最小值．

解答：解：（1）設(shè)AM=y米，AD=x米，則x²+4xy=200，∴y=

200-x2

4x

由題意得S=4200x²+210×4xy+80×2y²
=4200x2+210(200-x2)+80×2(

200-x2

4x

)2
=38000+4000x2+

400000

x2

(0＜x＜10

2

)
（2）S=4000x2+

400000

x2

+38000≥118000
當(dāng)且僅當(dāng)x=

10

米時(shí)，S最小．

點(diǎn)評(píng)：本題以實(shí)際問(wèn)題為載體，考查函數(shù)模型的構(gòu)建，考查基本不等式的運(yùn)用，關(guān)鍵是根據(jù)面積表示出x和y的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)造價(jià)表示出s和x的函數(shù)關(guān)系式．