Question

已知S_n是正數(shù)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和，S₁²、S₂²、…、S_n²、…是以3為首項(xiàng)，以1為公差的等差數(shù)列；數(shù)列{b_n}為無(wú)窮等比數(shù)列，其前四項(xiàng)之和為120，第二項(xiàng)與第四項(xiàng)之和為90．

(Ⅰ)求a_n和b_n；

(Ⅱ)試從數(shù)列{}中挑出一些項(xiàng)構(gòu)成一個(gè)無(wú)窮等比數(shù)列，使它的各項(xiàng)和等于，并指出所挑數(shù)列的首項(xiàng)和公比．

Answer 1

(Ⅰ)∵{}是以3為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列,

∴=3+(n-1)=n+2(n∈N^*).

∴S_n=,n∈N^*(∵a_n＞0)

∴當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=.

又a₁=S₁=,

∴a_n= 

設(shè){b_n}首項(xiàng)為b₁,公比為q.由題意知  ∴bⁿ=3ⁿ,n∈N^* 

(Ⅱ)設(shè)可從中挑出等比數(shù)列{c_n}，首項(xiàng)c₁=()^p,公比為（）^k,p、k∈N^*.

它的各項(xiàng)和等于.則有.  ∴()^p=[1-()^k].

當(dāng)p≥k時(shí)，即3^p-k(3^k-1)=8 

又∵p、k∈N^*,  ∴只有p-k=0,k=2即

p=k=2時(shí)，數(shù)列{c_n}的各項(xiàng)和為 

當(dāng)p＜k時(shí)，=3^k-p即(3^k-1)=8·3^k-p.

∵k＞p右邊含有3的倍數(shù)，而左邊非3的倍數(shù)，不存在p、k∈N^* 

∴存在一個(gè)數(shù)列{c_n}首項(xiàng)為,公比為，符合合條件.