Question

6．過點(diǎn)A（1，0）的直線l的傾斜角為$α（0＜α＜\frac{π}{2}）$，直線l繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)$\frac{π}{3}$角度得到直線y=1-x．
（1）求角α及$cos（\frac{π}{6}-α）$的值；
（2）圓心角為α的扇形周長c為4．求當(dāng)扇形的面積取最大值時，扇形的半徑r及弧長l．

Answer 1

分析 （1）依題意得tan（α+$\frac{π}{3}$）=-1，結(jié)合0＜α＜$\frac{π}{2}$，即可求角α及$cos（\frac{π}{6}-α）$的值；
（2）由c=2r+l=4得l=4-2r（0＜r＜2），利用扇形的面積公式，結(jié)合基本不等式，即可求當(dāng)扇形的面積取最大值時，扇形的半徑r及弧長l．

解答 解：（1）依題意得tan（α+$\frac{π}{3}$）=-1--------------------------------------------------------------------------（2分）
∵0＜α＜$\frac{π}{2}$，
∴$\frac{π}{3}$＜α+$\frac{π}{3}$＜$\frac{5π}{6}$，
∴α+$\frac{π}{3}$=$\frac{3π}{4}$，
∴α=$\frac{5π}{12}$-------------------------------------（5分）
由tan（α+$\frac{π}{3}$）=-1得sin（α+$\frac{π}{3}$）=-cos（α+$\frac{π}{3}$）
由sin²（α+$\frac{π}{3}$）+cos²（α+$\frac{π}{3}$）=1得sin（α+$\frac{π}{3}$）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$-----------------------------------------（7分）
∴$cos（\frac{π}{6}-α）$=cos[$\frac{π}{2}$-（α+$\frac{π}{3}$）]=sin（α+$\frac{π}{3}$）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$--------------------------------------------（8分）
（2）由c=2r+l=4得l=4-2r（0＜r＜2）------------------------------------（9分）
S=$\frac{1}{2}rl$=r（2-r）≤1，當(dāng)且僅當(dāng)r=1時等號成立．------------------（11分）
此時l=αr=$\frac{5π}{12}$----------------------------------------------------------（12分）

點(diǎn)評 本題考查直線的傾斜角，考查扇形的弧長、面積公式，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．