Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD，
AB=

2

AD，E是線段PD上的點(diǎn)，F(xiàn)是線段AB上的點(diǎn)，且

PE

ED

=

BF

FA

=λ(λ＞0)
（1）判斷EF與平面PBC的關(guān)系，并證明；
（2）當(dāng)λ為何值時(shí)，DF⊥平面PAC？并證明．

Answer 1

分析：（1）作FG∥BC交CD于G，根據(jù)線段間的比例關(guān)系可得

PE

ED

=

CG

GD

，PC∥EG，得到平面PBC∥平面EFG，
從而得到EF∥平面PBC．
（2）當(dāng)λ=1時(shí)，DF⊥平面PAC．證明∠AFD=∠CAD，AC⊥DF，PA⊥DF，可得 DF⊥平面PAC．

解答：解：（1）作FG∥BC交CD于G，連接EG，則

BF

FA

= 

CG

GD

，

PE

ED

= 

BF

FA

= λ，∴

PE

ED

=

CG

GD

，
∴PC∥EG．又FG∥BC，BC∩PC=C，F(xiàn)G∩GE=G，∴平面PBC∥平面EFG．又EF不在平面PBC內(nèi)，
∴EF∥平面PBC．
（2）當(dāng)λ=1時(shí)，DF⊥平面PAC．
證明如下：∵λ=1，則F為AB的中點(diǎn)，又AB=

2

AD，AF=

1

2

AB，
∴在 Rt△FAD 與 Rt△ACD中，tan∠AFD=

AD

AF

=

AD

2 2 AD

=

2

，tan∠CAD=

CD

AD

=

2 AD

AD

=

2

，
∴∠AFD=∠CAD，∴AC⊥DF，又PA⊥平面ABCD，DF?平面ABCD，
∴PA⊥DF，∴DF⊥平面PAC．

點(diǎn)評(píng)：本題考查證明線面平行、線面垂直的方法，直線與平面垂直的判定、性質(zhì)的應(yīng)用，判斷λ=1時(shí)，DF⊥平面PAC，
是解題的難點(diǎn)．