Question

如圖，直角梯形地塊ABCE，AF、EC是兩條道路，其中AF是以A為頂點(diǎn)、AE所在直線為對稱軸的拋物線的一部分，EC是線段．AB=2km，BC=6km，AE=BF=4km．計(jì)劃在兩條道路之間修建一個(gè)公園，
公園形狀為直角梯形QPRE（其中線段EQ和RP為兩條底邊）．記QP=x（km），公園面積為S（km²）．
（Ⅰ）以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AE所在直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，求AF所在拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）求面積S（km²）關(guān)于x（km）的函數(shù)解析式；
（Ⅲ）求面積S（km²）的最大值．

Answer 1

解：（Ⅰ）設(shè)拋物線y²=2px
∵點(diǎn)F（4，2）在拋物線上，∴2²=2p×4，∴2p=1，∴y²=x
（Ⅱ）設(shè)P（x²，x） 則QE=AE-AQ=4-x²
∵∠PRE=∠C=45°∴PR=QE+x=4-x²+x（0＜x＜2）
（Ⅲ）S'（x）=-3x²+x+4令S'（x）=0則x=-1（舍去）或
當(dāng)時(shí)，S'＞0，∴S（x）遞增；當(dāng)時(shí)，S'＜0，∴S（x）遞減；
∴當(dāng)km時(shí)，km²
分析：（Ⅰ）設(shè)拋物線y²=2px，根據(jù)點(diǎn)F（4，2）在拋物線上，可求AF所在拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）公園形狀為直角梯形QPRE，所以利用面積公式可求，應(yīng)注意x的取值范圍；
（Ⅲ）先求導(dǎo)函數(shù)，令導(dǎo)數(shù)為0，得，利用函數(shù)在（0，2）上是單峰函數(shù)，可求函數(shù)的最值．
點(diǎn)評：本題注意考查函數(shù)模型的建立，考查利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)的最值問題，屬于中檔題．