Question

某工廠為擴大生產規(guī)模，2014年初新購置了一條高性能的生產線，該生產線在使用過程中的維護費用會逐年增加，第1年的維護費用是4萬元，從第2年到第7年，每年的維護費用均比上年增加2萬元，從第8年開始，每年的維護費用比上年增加25%．
（1）設該生產線第n年的維護費用為a_n，求a_n的表達式；
（2）設該生產線前n年維護費用總和為S_n，求該生產線前n年平均維護費用的表達式．

Answer 1

考點：數(shù)列與函數(shù)的綜合

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）根據(jù)題意可得當n≤7時，{a_n}組成以4為首項，2為公差的等差數(shù)列，當n＞7時，{a_n}組成以a₇=16為首項，1+25%=

5

4

為公差的等比數(shù)列，從而可求a_n
（2）利用（1）的結論，結合等差（等比）數(shù)列的求和公式，由此即可求得該生產線前n年維護費．

解答： 解：（1）由題意知，當n≤7時，{a_n}組成以4為首項，2為公差的等差數(shù)列，
∴a_n=2n+2，
當n＞7時，{a_n}組成以a₇=16為首項，1+25%=

5

4

為公差的等比數(shù)列，
∴a_n=16×（

5

4

）^n-7，
∴a_n=

16•( 5 4 )n-7，n≥8 2n+2，n≤7

；
（2）當n≤7時，S_n=4n+

n(n-1)

2

×2=n²+3n，
當n＞7時，S_n=70+16×

5

4

×

1-( 5 4 )n-7

1- 5 4

=80×（

5

4

）^n-7-10．
∴該生產線前n年維護費為S_n=

n2+3n，n≤7 80( 5 4 )n-7-10，n≥8

．

點評：本題考查數(shù)列的應用，考查分段函數(shù)，解題的關鍵是構建等差數(shù)列、等比數(shù)列模型，屬于中檔題．