Question

已知數(shù)列{a_n}是公差為d（d≠0）的等差數(shù)列，數(shù)列{b_n}是公比為q的（q∈R）的等比數(shù)列，若函數(shù)f（x）=x²，且a₁=f（d-1），a₅=f（2d-1），b₁=f（q-2），b₃=f（q）．
（1）求數(shù)列{a_n}和{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和為S_n，對(duì)一切n∈N^*，都有

c1

b1

+

c2

2b2

+…+

cn

nbn

=an+1成立，求S_n．

Answer 1

分析：（1）首先利用f（x）的解析式表示出a₁，a₅，b₁，b₃，然后利用等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，建立方程，求解即可．
（2）首先根據(jù)題設(shè)中的遞推公式可得c₁=3，n≥2時(shí)，a_n+1-a_n=

cn

nbn

=2，故可求出c_n，然后，利用錯(cuò)位相減法求出s_n．

解答：解：（1）∵數(shù)列{a_n}是公差為d（d≠0）的等差數(shù)列，f（x）=x²，且a₁=f（d-1），a₅=f（2d-1），
∴（d-1）²+4d=（2d-1）²，
∴d=2，a₁=1．
∴a_n=2n-1；
∵數(shù)列{b_n}是公比為q的（q∈R）的等比數(shù)列，f（x）=x²，且b₁=f（q-2），b₃=f（q），
則b₂=q
∴q²=q²（q-2）²，
解得q=3，或q=1，又b₁=1．
∴b_n=3^n-1；或b_n=1
（2）∵對(duì)一切n∈N^*，都有

c1

b1

+

c2

2b2

+…+

cn

nbn

=an+1成立，
∴當(dāng)n=1時(shí)，

c1

b1

=a2，
∵a₁=3，b₁=1，
∴c₁=3，S₁=3；
當(dāng)n≥2時(shí)，∵

c1

b1

+

c2

2b2

+…+

cn

nbn

=an+1，
∴

c1

b1

+

c2

2b2

+…+

cn-1

(n-1)bn-1

=a_n，
∴

cn

nbn

=an+1-an=2，
∴c_n=2n•3^n-1，
故c_n=

3，n=1 2n•3n-1，n≥2

，
∴S_n=c₁+c₂+…+c_n
=3+2•2•3+2•3•3²+2•n•3^n-1
=2（1•3⁰+2•3¹+3•3²+n•3^n-1）+1
設(shè)x=1•3⁰+2•3¹+3•3²+…+n•3^n-1，①
則3•x=1•3¹+2•3²+…+（n-1）•3^n-1+n•3ⁿ，②
②-①得2x=n•3ⁿ-（3^n-1+3^n-2+…+3⁰）=n•3n-

3n-1

2

，
∵sn=2x+1，
∴Sn=(n-

1

2

)•3n+

3

2

，
又S₁=3滿足上式，
綜上，Sn=(n-

1

2

)•3n+

3

2

，n∈N*．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了數(shù)列知識(shí)和函數(shù)的綜合運(yùn)用，以及靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)方法的能力，難度較大．