如圖，P是拋物線C：上一點，直線l過點P且與拋物線C交于另一點Q．

（1）若直線l與過點P的切線垂直，求線段PQ中點M的軌跡方程；

（2）若直線l不過原點且與x軸交于點S，與y軸交于點T，試求的取值范圍

 

答案：
解析：

本題主要考查直線、拋物線、不等式等基礎(chǔ)知識，求軌跡方程的方法，解析幾何的基本思想和綜合解題能力．

解：（1）設P(x1，y1)，Q(x2，y2)，M(x0，y0)，依題意x1¹0，y1>0，y2>0．

由……①和y¢=x．∴ 過點P的切線的斜率k切=x1，∴ 直線l的斜率，∴ 直線l的程為……②

方法一：

聯(lián)立①②消去y，．

∵ M是PQ的中點

∴

消去x1，得，∴ PQ中點M的軌跡方程為．

方法二：

由

得

則，∴ 將上式代入②并整理，得，

∴ PQ中點M的軌跡方程為．

（2）設直線l∶y=kx+b，依題得k¹0，b¹0，則T(0，b)．

分別過P、Q作PP¢^x軸，QQ¢^y軸，垂足分別為P¢、Q¢，則

由消去x，得y2-2(k2+b)y+b2=0……③

則

方法一：

∴

∵ y1、y2可取一切不相等的正數(shù)，∴ 的取值范圍是(2，+¥)

方法二：

∴

當b>0時，

當b<0時，

 


練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，P是拋物線C：y=
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x2上一點，直線l過點P且與拋物線C交于另一點Q．若直線l與過點P的切線垂直，求線段PQ中點M的軌跡方程．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，P是拋物線C：y=
1
2
x2上一點，直線l過點P且與拋物線C交于另一點Q．
（Ⅰ）若直線l與過點P的切線垂直，求線段PQ中點M的軌跡方程；
（Ⅱ）若直線l不過原點且與x軸交于點S，與y軸交于點T，試求
|ST|
|SP|
+
|ST|
|SQ|
的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，P是拋物線C：y=
12
x2上一點，直線l過點P并與拋物線C在點P的切線垂直，l與拋物線C相交于另一點Q．
（Ⅰ）當點P的橫坐標為2時，求直線l的方程；
（Ⅱ）當點P在拋物線C上移動時，求線段PQ中點M的軌跡方程，并求點M到x軸的最短距離．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，P是拋物線C：y=
12
x2上橫坐標大于零的一點，直線l過點P并與拋物線C在點P處的切線垂直，直線l與拋物線C相交于另一點Q．當點P的橫坐標為2時，求直線l的方程．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，P是拋物線C：x2=2y上一點，F(xiàn)為拋物線的焦點，直線l過點P且與拋物線交于另一點Q，已知P（x1，y1），Q（x2，y2）．
（1）若l經(jīng)過點F，求弦長|PQ|的最小值；
（2）設直線l：y=kx+b（k≠0，b≠0）與x軸交于點S，與y軸交于點T
①求證：
|ST|
|SP|
+
|ST|
|SQ|
=|b|(
1
y1
+
1
y2
)
②求
|ST|
|SP|
+
|ST|
|SQ|
的取值范圍．

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