Question

已知函數(shù)f(x)=ax++c（a＞0）的圖象在點（1，f(1)）處的切線方程為y=x-1，
(Ⅰ)用a表示出b，c；
(Ⅱ)若f(x)≥lnx在[1，+∞)上恒成立，求a的取值范圍；
(Ⅲ)證明：。

Answer 1

(Ⅰ)解：，則有，
解得；
(Ⅱ)解：由(Ⅰ)知，，
令，
則，
(ⅰ)當時，，
若，則g′(x)＜0，g(x)是減函數(shù)，所以g(x)＜g(1)=0，
即f(x)＜lnx，故f(x)≥lnx在[1，+∞）上不恒成立；
(ⅱ)當時，，
若x＞1，則g′(x)＞0，g(x)是增函數(shù)，所以g(x)＞g(1)=0，
即f(x)＞lnx．故當x≥1時，f(x)≥lnx；
綜上所述，所求a的取值范圍為。
(Ⅲ)證明：用數(shù)學歸納法證明，
①當n=1時，左邊=1，右邊=，不等式成立；
②假設n=k時，不等式成立，就是
，
那么，
由(Ⅱ)知當時，有f(x)≥lnx(x≥1)，
令，有，
令，得，
∴，
∴，
這就是說，當n=k+1時，不等式也成立．
根據(jù)①和②，可知不等式對任何n∈N*都成立。