Question

已知函數(shù)f（x）=ax³+bx²，f（x）在點(diǎn)（3，f（3））處的切線方程為12x+2y-27=0．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的解析式；
（Ⅱ）若對(duì)任意的x∈[1，+∞），f′（x）≤klnx恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

解：（Ⅰ）將x=3代入直線方程得，
∵點(diǎn)（3，f（3））也在函數(shù)f（x）=ax³+bx²的圖象上，∴①
再由f'（x）=3ax²+2bx，f'（3）=-6，∴27a+6b=-6②
聯(lián)立①②，解得．
∴；
（Ⅱ）由f'（x）=-x²+x，∴f′（x）≤klnx恒成立，
即-x²+x≤klnx在x∈[1，+∞）上恒成立；
也就是x²-x+klnx≥0在x∈[1，+∞）恒成立；
設(shè)g（x）=x²-x+klnx，
∵g（1）=0，
∴只需對(duì)任意x∈[1，+∞）有g(shù)（x）≥g（1）即可．

設(shè)h（x）=2x²-x+k，
（1）當(dāng)△=1-8k≤0，即時(shí)，h（x）≥0，∴g'（x）≥0，
∴g（x）在[1，+∞）單調(diào)遞增，
∴g（x）≥g（1）．
（2）當(dāng)△=1-8k＞0，即時(shí)，設(shè)是方程2x²-x+k=0的兩根且x₁＜x₂
由，可知x₁＜，要使對(duì)任意x∈[1，+∞）有g(shù)（x）≥g（1），
只需x₂≤1，即2×1²-1+k≥0，
∴k+1≥0，k≥-1
∴
綜上分析，實(shí)數(shù)k的取值范圍為[-1，+∞）．
分析：（Ⅰ）由點(diǎn)（3，f（3））在切線上，可求點(diǎn)的縱坐標(biāo)，又在曲線上，把求得的點(diǎn)的坐標(biāo)代入曲線方程可得一個(gè)關(guān)于a，b的方程，再根據(jù)函數(shù)在點(diǎn)（3，f（3））處的切線的斜率列關(guān)于a，b的第二個(gè)方程，聯(lián)立后即可求得a，b的值，則函數(shù)解析式可求；
（Ⅱ）求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)后代入f′（x）≤klnx，把對(duì)任意的x∈[1，+∞），f′（x）≤klnx恒成立轉(zhuǎn)化為x²-x+klnx≥0在x∈[1，+∞）恒成立，引入輔助函數(shù)g（x）=x²-x+klnx，而g（1）=0，則問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)g（x）=x²-x+klnx在[1，+∞）上為增函數(shù)，求k的值．把函數(shù)g（x）求導(dǎo)后，通過(guò)滿足導(dǎo)函數(shù)在[1，+∞）上恒大于等于0可求實(shí)數(shù)k的取值范圍．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的切線方程問(wèn)題，在曲線上某點(diǎn)處的切線的斜率就是該點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)值，考查了導(dǎo)數(shù)在最大值和最小值中的應(yīng)用，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想和分類討論的數(shù)學(xué)思想．此題屬中檔題．