【題目】如圖,四面體ABCD中,,,二面角的大小為,

(1)若,MBC的中點,N在線段DC上,,求證:平面AMN

(2)當(dāng)BP與平面ACD所成角最大時,求的值.

【答案】(1)見證明;(2)

【解析】

1)取的中點,連接,利用中位線的性質(zhì)以及面面平行的判定定理證得平面平面,由此證得平面.2)作出直線與平面所成的角,根據(jù)所成角的最大值,求得的值.

(1)取DN的中點E,連接PEBE

,,PE、BE是平面AMN外兩條相交直線,

所以平面平面AMN,

所以平面AMN.

(2)作G,在平面DAC內(nèi)作ADH,二面角的平面角為,因為,所以HAD的中點,得是正三角形.

易得平面平面DAC,作,則GH的中點,,

連接PI,根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理,有平面.則BP與平面ACD所成角.在中,,為定值,故當(dāng)時,即最短時,取得最大值,取得最大,在,,,故,故

練習(xí)冊系列答案
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【題目】已知函數(shù)為自然對數(shù)的底數(shù)),的導(dǎo)函數(shù),且.

1)求實數(shù)的值;

2)若函數(shù)處的切線經(jīng)過點,求函數(shù)的極值;

3)若關(guān)于的不等式對于任意的恒成立,求實數(shù)的取值范圍.

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【題目】等差數(shù)列中,,且,成等比數(shù)列.

1)求數(shù)列的通項公式;

2)記為數(shù)列的前項和,是否存在正整數(shù),使得?若存在,求出的最小值;若不存在,請說明理由.

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【題目】甲乙兩個班級均為 40 人,進行一門考試后,按學(xué)生考試成績及格與不及格進行統(tǒng)計,甲班及格人數(shù)為 36 人,乙班及格人數(shù)為 24 人.

(1)根據(jù)以上數(shù)據(jù)建立一個22的列聯(lián)表;

(2)試判斷是否成績與班級是否有關(guān)?

參考公式:

0.50

0.40

0.25

0.15

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001

k

0.455

0.708

1.323

2.072

2.706

3.84

5.024

6.635

7.879

10.83

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【題目】已知橢圓的離心率為,分別為的左頂點和上頂點,若的中點的縱坐標(biāo)為.分別為的左、右焦點.

1)求橢圓的方程;

2)設(shè)直線交于兩點,,的重心分別為.若原點在以為直徑的圓內(nèi),求實數(shù)的取值范圍.

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【題目】下面有四個關(guān)于充要條件的命題:①向量與非零向量共線的充要條件是有且只有一個實數(shù)使得;②函數(shù)為偶函數(shù)的充要條件是;③兩個事件為互斥事件這兩個事件為對立事件的充要條件;④設(shè),則"為偶函數(shù)的充分不必要條件.其中,真命題的序號是____

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【題目】在某外國語學(xué)校舉行的(高中生數(shù)學(xué)建模大賽)中,參與大賽的女生與男生人數(shù)之比為,且成績分布在,分?jǐn)?shù)在以上(含)的同學(xué)獲獎.按女生、男生用分層抽樣的方法抽取人的成績作為樣本,得到成績的頻率分布直方圖如圖所示.

(Ⅰ)求的值,并計算所抽取樣本的平均值(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表);

(Ⅱ)填寫下面的列聯(lián)表,并判斷在犯錯誤的概率不超過的前提下能否認(rèn)為“獲獎與女生、男生有關(guān)”.

女生

男生

總計

獲獎

不獲獎

總計

附表及公式:

其中,

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【題目】已知:函數(shù),其中

)若的極值點,求的值;

)求的單調(diào)區(qū)間;

)若上的最大值是,求的取值范圍.

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【題目】十五巧板,又稱益智圖,為清朝浙江省德清知縣童葉庚在同治年間所發(fā)明,它能拼出草木、花果、鳥獸、魚蟲、文字等圖案.十五巧板由十五塊板組成一個大正方形(如圖1),其中標(biāo)號為的小板為等腰直角三角形,圖是用十五巧板拼出的2019年生肖豬的圖案,則從生肖豬圖案中任取一點,該點恰好取自陰影部分的概率為(

A.B.C.D.

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