對定義在區(qū)間D上的函數(shù)f(x),若存在閉區(qū)間[a,b]⊆D和常數(shù)C,使得對任意的x∈[a,b]都有f(x)=C,且對任意的x∉[a,b]都有f(x)>C恒成立,則稱函數(shù)f(x)為區(qū)間D上的“U型”函數(shù).
(1)求證函數(shù)f(x)=|x-1|+|x-3|是R上的“U型”函數(shù);
(2)設(shè)函數(shù)f(x)是(1)中的“U型”函數(shù),若不等式|t-1|+|t-2|≤f(x)對一切t∈R恒成立,求實(shí)數(shù)t的取值范圍.
(3)若函數(shù)g(x)=mx+
x2+2x+n
是區(qū)間[-2,+∞)上的“U型”函數(shù),求實(shí)數(shù)m和n的值.
分析:1)對于函數(shù)f(x)=|x-1|+|x-3|,欲判斷其是否是“U型”函數(shù),只須f1(x)≥2是否恒成立,利用去絕對值符號(hào)后即可證得;
(2)不等式|t-1|+|t-2|≤f(x)對一切x∈R恒成立,等價(jià)于|t-1|+|t-2|≤f(x)min,等價(jià)于|t-1|+|t-2|≤2,從而可求實(shí)數(shù)t的取值范圍;
(3)函數(shù)g(x)=mx+
x2+2x+n
是區(qū)間[-2,+∞)上的“U型”函數(shù),等價(jià)于x2+2x+n=m2x2-2cmx+c2對任意的x∈[a,b]成立,利用恒等關(guān)系,可得到關(guān)于m,n,c的方程,解出它們的值,最后通過驗(yàn)證g(x)是區(qū)間[-2,+∞)上的“U型”函數(shù)即可解決問題.
解答:解:(1)當(dāng)x∈[1,3]時(shí),f(x)=x-1+3-x=2,
當(dāng)x∉[1,3]時(shí),f(x)=|x-1|+|x-3|>|x-1+3-x|=2,
故存在閉區(qū)間[a,b]=[1,3]⊆R和常數(shù)C=2符合條件,
所以函數(shù)f(x)=|x-1|+|x-3|是R上的“U型”函數(shù);
(2)因?yàn)椴坏仁絴t-1|+|t-2|≤f(x)對一切x∈R恒成立,
所以|t-1|+|t-2|≤f(x)min,
由(1)可知f(x)min=(|x-1|+|x-3|)min=2,
所以|t-1|+|t-2|≤2,
解得:
1
2
≤t≤
5
2
;
(3)由“U型”函數(shù)定義知,存在閉區(qū)間[a,b]⊆[-2,+∞)和常數(shù)c,使得對任意的x∈[a,b],
都有g(shù)(x)=mx+
x2+2x+n
=c,即
x2+2x+n
=c-mx,
所以x2+2x+n=(c-mx)2恒成立,即x2+2x+n=m2x2-2cmx+c2對任意的x∈[a,b]成立,
所以
m2=1
-2cm=2
c2=n
,所以
m=1
c=-1
n=1
m=-1
c=1
n=1
,
①當(dāng)
m=1
c=-1
n=1
時(shí),g(x)=x+|x+1|.
當(dāng)x∈[-2,-1]時(shí),g(x)=-1,當(dāng)x∈(-1,+∞)時(shí),g(x)=2x+1>-1恒成立.
此時(shí),g(x)是區(qū)間[-2,+∞)上的“U型”函數(shù);
②當(dāng)
m=-1
c=1
n=1
時(shí),g(x)=-x+|x+1|.
當(dāng)x∈[-2,-1]時(shí),g(x)=-2x-1≥1,當(dāng)x∈(-1,+∞)時(shí),g(x)=1.
此時(shí),g(x)不是區(qū)間[-2,+∞)上的“U型”函數(shù).
綜上分析,m=1,n=1為所求;
點(diǎn)評(píng):本題考查新定義,考查函數(shù)恒成立問題,考查函數(shù)的最值,解題的關(guān)鍵是利用恒成立結(jié)論等式,從而可得參數(shù)的值,屬于難題.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

定義在D上的函數(shù)f(x),如果滿足:對任意x∈D,存在常數(shù)M≥0,都有|f(x)|≤M 成立,則稱f(x)是D上的有界函數(shù),其中M稱為函f(x)的一個(gè)上界.
已知函數(shù)f(x)=1+a(
1
2
)
x
+(
1
4
)
x
,g(x)=log
1
2
1-ax
x-1

(1)若函數(shù)g(x)為奇函數(shù),求實(shí)數(shù)a的值;
(2)在(1)的條件下,求函數(shù)g(x),在區(qū)間[
5
3
,3]上的所有上界構(gòu)成的集合;
(3)若函數(shù)g(x)在[0,+∞)上是以3為上界的有界函數(shù),求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2010-2011學(xué)年廣東省高考猜押題卷文科數(shù)學(xué)(二)解析版 題型:解答題

(本小題滿分14分)

已知函數(shù)

(Ⅰ)請研究函數(shù)的單調(diào)性;

(Ⅱ)若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn),求實(shí)數(shù)的取值范圍;

(Ⅲ)若定義在區(qū)間D上的函數(shù)對于區(qū)間D上的任意兩個(gè)值x1、x2總有以下不等式成立,則稱函數(shù)為區(qū)間D上的“凹函數(shù)”.若函

 

數(shù)的最小值為,試判斷函數(shù)是否為“凹函數(shù)”,并對你的判斷加以證明.

 

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案