Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=（1+x）e﹣2x ， g（x）=ax+ +1+2xcosx，當x∈[0，1]時，
（1）求證： ；
（2）若f（x）≥g（x）恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）證明：①當x∈[0，1）時，（1+x）e﹣2x≥1﹣x（1+x）e﹣x≥（1﹣x）ex，

令h（x）=（1+x）e﹣x﹣（1﹣x）ex，則h′（x）=x（ex﹣e﹣x）．

當x∈[0，1）時，h′（x）≥0，

∴h（x）在[0，1）上是增函數(shù)，

∴h（x）≥h（0）=0，即f（x）≥1﹣x．

②當x∈[0，1）時， ex≥1+x，令u（x）=ex﹣1﹣x，則u′（x）=ex﹣1．

當x∈[0，1）時，u′（x）≥0，

∴u（x）在[0，1）單調(diào)遞增，∴u（x）≥u（0）=0，

∴f（x） ．

綜上可知： ．

（2）解：設(shè)G（x）=f（x）﹣g（x）=

≥ = ．

令H（x）= ，則H′（x）=x﹣2sinx，

令K（x）=x﹣2sinx，則K′（x）=1﹣2cosx．

當x∈[0，1）時，K′（x）＜0，

可得H′（x）是[0，1）上的減函數(shù)，∴H′（x）≤H′（0）=0，故H（x）在[0，1）單調(diào)遞減，

∴H（x）≤H（0）=2．∴a+1+H（x）≤a+3．

∴當a≤﹣3時，f（x）≥g（x）在[0，1）上恒成立．

下面證明當a＞﹣3時，f（x）≥g（x）在[0，1）上不恒成立．

f（x）﹣g（x）≤ = =﹣x ．

令v（x）= = ，則v′（x）= ．

當x∈[0，1）時，v′（x）≤0，故v（x）在[0，1）上是減函數(shù)，

∴v（x）∈（a+1+2cos1，a+3]．

當a＞﹣3時，a+3＞0．

∴存在x0∈（0，1），使得v（x0）＞0，此時，f（x0）＜g（x0）．

即f（x）≥g（x）在[0，1）不恒成立．

綜上實數(shù)a的取值范圍是（﹣∞，﹣3]．

【解析】（1）①當x∈[0，1）時，（1+x）e﹣2x≥1﹣x（1+x）e﹣x≥（1﹣x）ex ， 令h（x）=（1+x）e﹣x﹣（1﹣x）ex ， 利用導數(shù)得到h（x）的單調(diào)性即可證明；②當x∈[0，1）時， ex≥1+x，令u（x）=ex﹣1﹣x，利用導數(shù)得出h（x）的單調(diào)性即可證明．（2）利用（I）的結(jié)論得到f（x）≥1﹣x，于是G（x）=f（x）﹣g（x）≥ = ．再令H（x）= ，通過多次求導得出其單調(diào)性即可求出a的取值范圍．
【考點精析】利用利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的極值與導數(shù)對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導數(shù)的正負有如下關(guān)系： 在某個區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞減；求函數(shù)的極值的方法是:（1）如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極大值（2）如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極小值．