Question

已知雙曲線x²-y²=a²及其上一點(diǎn)P，求證：
（1）離心率e=

2

，漸近線方程為y=±x；
（2）P到它的兩個(gè)焦點(diǎn)的距離的積等于P到雙曲線中心距離的平方；
（3）過(guò)P作兩漸近線的垂線，構(gòu)成的矩形面積為定值．

Answer 1

考點(diǎn)：雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）將雙曲線方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，進(jìn)而根據(jù)雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)，求出離心率和漸近線方程；
（2）設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（x₀，

x 2 0 -a2

），分別求出P到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離，和P點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，可證得結(jié)論；
（3）利用點(diǎn)到直線距離公式，求出過(guò)P作的兩漸近線的垂線長(zhǎng)度，求出矩形面積，可得答案．

解答： 證明：（1）雙曲線x²-y²=a²的標(biāo)準(zhǔn)方程為：

x2

a2

-

y2

a2

=1，
∴c²=2a²，
∴e²=2，
∴雙曲線的離心率e=

2

，
漸近線方程為y=±

a

a

x=±x，
（2）設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（x₀，

x 2 0 -a2

），雙曲線的左右焦點(diǎn)分別為：（±

2

a，0）
∴則P到到兩焦點(diǎn)的距離分別為：

(x0+ 2 a)2+ x 2 0 -a2

，

(x0- 2 a)2+ x 2 0 -a2

，
則

(x0+ 2 a)2+ x 2 0 -a2

•

(x0- 2 a)2+ x 2 0 -a2

=

(2 x 2 0 +a2)+2 2 ax0

•

(2 x 2 0 +a2)-2 2 ax0

=

(2 x 2 0 +a2)2-8(ax0)2

=

(2 x 2 0 -a2)2

=2

x

2 0

-a2 ，
P到到原點(diǎn)的距離為

x02+ x 2 0 -a2

=

2 x 2 0 -a2

，
故P到它的兩個(gè)焦點(diǎn)的距離的積等于P到雙曲線中心距離的平方；
（3）過(guò)P作兩漸近線的垂線，
垂線長(zhǎng)度分別為：

x0+ x 2 0 -a2

2

和

x0- x 2 0 -a2

2

，
故矩形的面積S=

x0+ x 2 0 -a2

2

•

x0- x 2 0 -a2

2

=

(x0)2-( x 2 0 -a2)

2

=

1

2

a2，
即矩形面積為定值．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)，兩點(diǎn)之間的距離公式，點(diǎn)到直線的距離公式，難度不大，屬于基礎(chǔ)題．