Question

6．平行于向量（1，2）的光線，從中心在原點(diǎn)的橢圓的焦點(diǎn)F₁（-1，0）射到橢圓上一點(diǎn)M，被橢圓反射后經(jīng)過另一焦點(diǎn)F₂和點(diǎn)P（3，1），求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程．

Answer 1

分析 求出平行向量（1，2），過F₁（-1，0）的直線，經(jīng)過F₂和P的反射直線，可得橢圓上一點(diǎn)M（-$\frac{5}{3}$，-$\frac{4}{3}$），利用橢圓的定義求出a，可得b，即可求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程．

解答 解：平行向量（1，2），過F₁（-1，0）的直線是2x-y+2=0，
經(jīng)過F₂和P的反射直線是x-2y-1=0，
聯(lián)立兩方程求得橢圓上一點(diǎn)M（-$\frac{5}{3}$，-$\frac{4}{3}$）
∴2a=$\sqrt{（-\frac{5}{3}+1）^{2}+（-\frac{4}{3}）^{2}}$+$\sqrt{（-\frac{5}{3}-1）^{2}+（-\frac{4}{3}）^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
∴a=$\sqrt{5}$，
∵c=1，∴b=2
∴橢圓方程是$\frac{{x}^{2}}{5}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$．

點(diǎn)評 本題考查求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程，考查橢圓的定義，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．