Question

已知函數(shù)f（x）=x²，（x∈[-2，2]），g（x）=a²sin（2x+

π

6

）+3a，x∈[0，

π

2

]），?x₁∈[-2，2]，總?x₀∈[-0，

π

2

]，使得g（x）=f（x₁）成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

 

．

Answer 1

分析：先分別求出函數(shù)f（x）與函數(shù)g（x）的值域，再根據(jù)?x₁∈[-2，2]，總?x0∈[0，

π

2

]，使得g(x0)=f(

x

1

)成立得到函數(shù)
f（x）的值域是函數(shù)g（x）的值域的子集，建立不等關(guān)系即可．

解答：解：∵x∈[0，

π

2

]
∴sin（2x+

π

6

）∈[-

1

2

，1]
則g(x)=a2sin(2x+

π

6

)+3a，x∈[0，

π

2

]的值域?yàn)閇3a-

1

2

a²，a²+3a]
而f（x）=x²，（x∈[-2，2]）的值域?yàn)閇0，4]
∵?x₁∈[-2，2]，總?x0∈[0，

π

2

]，使得g(x0)=f(

x

1

)成立
∴[0，4]⊆[3a-

1

2

a²，a²+3a]
則

3a-  1 2 a2≤0 a2+3a≥4

，解得a∈（-∞，-4]∪[6，+∞），
故答案為（-∞，-4]∪[6，+∞）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了函數(shù)的值域，以及存在性問(wèn)題的應(yīng)用，屬于中檔題，是高考中偶爾出現(xiàn)的好題．