Question

正四面體的各條棱長(zhǎng)為a，點(diǎn)P在棱AB上移動(dòng)，點(diǎn)Q在棱CD上移動(dòng)，則點(diǎn)P和點(diǎn)Q的最短距離是（　　）

• A、

  1

  2

  a
• B、

  2

  2

  a
• C、

  3

  2

  a
• D、

  3

  4

  a

Answer 1

分析：根據(jù)正四面體的幾何特征，可得當(dāng)P為AB的中點(diǎn)，Q為CD的中點(diǎn)時(shí)，PQ為異面直線(xiàn)AB與CD的公垂線(xiàn)段，取最小值．

解答：解：∵正四面體A-BCD棱長(zhǎng)為a，點(diǎn)P在AB上移動(dòng)，點(diǎn)Q在CD上移動(dòng)，
∴當(dāng)PQ為異面直線(xiàn)AB與CD的公垂線(xiàn)段時(shí)，PQ取最小值．
由正四面體的幾何特征可得，此時(shí)P為AB的中點(diǎn)，Q為CD的中點(diǎn)
在Rt△PBQ中，PB=

a

2

，BQ=

3 a

2

，
則PQ=

BQ2-PB2

=

2

2

a．
故選B．

點(diǎn)評(píng)：本題以正四面體為載體，考查棱錐的結(jié)構(gòu)特征，其中根據(jù)棱錐的結(jié)構(gòu)特征，判斷出當(dāng)P為AB的中點(diǎn)，Q為CD的中點(diǎn)時(shí)，PQ為異面直線(xiàn)AB與CD的公垂線(xiàn)段，取最小值，是解答本題的關(guān)鍵．