Question

已知點(diǎn)P（2，1）在拋物線C₁：x²=2py（p＞0）上，直線l過點(diǎn)Q（0，2）且與拋物線C₁交于A、B兩點(diǎn)．
（1）求拋物線C₁的方程及弦AB中點(diǎn)M的軌跡C₂的方程；
（2）若直線l₁、l₂分別為C₁、C₂的切線，且l₁∥l₂，求l₁到l₂的最近距離．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的關(guān)系,兩條平行直線間的距離

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）點(diǎn)P（2，1）代入拋物線，可得拋物線的方程，利用點(diǎn)差法，可求弦AB中點(diǎn)M的軌跡C₂的方程；
（2）求出l₁：2xx₃-2y-2x₃²=0，l₂：2xx₃-2y-x₃²+4=0，利用平行線間的距離公式，結(jié)合基本不等式，即可求出l₁到l₂的最近距離．

解答： 解：（1）∵點(diǎn)P（2，1）在拋物線C₁：x²=2py（p＞0）上，
∴4=2p，
∴拋物線C₁的方程為x²=4y；
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（x₀，y₀），
則x₁²=4y₁，x₂²=4y₂，
兩式相減可得（x₁-x₂）（x₁+x₂）=4（y₁-y₂），
∴AB的斜率為

y1-y2

x1-x2

=

x1+x2

4

=

x0

2

=

y0-2

x0

，
∴x₀²=2y₀-4，
∴弦AB中點(diǎn)M的軌跡C₂的方程為x²=2y-4；
（2）設(shè)直線l₁、l₂分別與C₁、C₂的切點(diǎn)為R（x₃，y₃），S（x₄，y₄），
求導(dǎo)可得l₁：xx₃-2y-2y₃=0，l₂：xx₄-y-y₄+4=0，
∵l₁∥l₂，∴x₃=2x₄，
∴l(xiāng)₁：2xx₃-2y-2x₃²=0，l₂：2xx₃-2y-x₃²+4=0，
∴d=

x32+4

2 x32+1

=

1

2

（

x32+1

+

3

x32+1

）≥

3

，
此時x₃=±

2

，l₁到l₂的最近距離為

3

．

點(diǎn)評：本題考查軌跡方程，考查平行線間的距離，正確運(yùn)用點(diǎn)差法，求出切線方程是關(guān)鍵．