Question

如圖，四棱錐C-ABDE中，△ABC為正三角形，AE⊥平面ABC，BD⊥平面ABC，M為DC上一點，BD=BC=2AE=2．
（Ⅰ）求證：AE∥平面BCD；
（Ⅱ）當EM⊥BD時，求二面角M-AB-C的正切值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先根據(jù)AE⊥平面ABC，BD⊥平面ABC得到AE∥BD，進而得到結論；
（Ⅱ）先在平面BCD中過點M做MN⊥BC，垂足為N，則有MN⊥平面ABC，MN∥BD；再過N做NG⊥AB于G，連接MG則MG⊥AB，可得∠MGN為二面角M-AB-C的一個平面角；最后通過求出三角形的邊長即可求出結論．

解答：解：（Ⅰ）證明：
∵AE⊥平面ABC，BD⊥平面ABC
∴AE∥BD而AE?平面BCDBD?平面BCD
∴AE∥平面BCD…（5分）
（Ⅱ）∵BD⊥平面ABC
∴平面BCD⊥平面ABC
在平面BCD中過點M做MN⊥BC，垂足為N，則有MN⊥平面ABC，MN∥BD，
∴∠EMN=

π

2

且MN∥AE
過N做NG⊥AB于G，連接MG則MG⊥AB，所以∠MGN為二面角M-AB-C的一個平面角                      …（7分）
在四邊形AEMN中
∵∠EAN=∠ANM=∠NME=

π

2

∴四邊形AEMN為矩形
∴MN=AE=1
∴M為CD的中點，N為BC的中點          …（10分）
在Rt△MNG中，MN=1，NG=BN•sin∠ABC=

3

2

∴tan∠MGN=

MN

NG

=

1

3 2

=

2 3

3

…（12分）

點評：本題主要考察直線與平面平行的判定以及二面角的平面角及求法．解決二面角的平面角問題的關鍵在于做出二面角的平面角．