Question

函數(shù)y=a^x+1-2（a＞0，a≠1）的圖象恒過定點A，若點A在直線mx+ny+1=0，（m＞0，n＞0）上，則

2

m

+

1

n

的最小值是

3+2

2

．

Answer 1

分析：最值問題經(jīng)常利用均值不等式求解，適時應(yīng)用“1”的代換是解本題的關(guān)鍵．函數(shù)y=a^x+1-2（a＞0，a≠1）的反函數(shù)圖象恒過定點A，知A（-1，-1），點A在直線mx+ny+1=0上，得2m+n=1又mn＞0，∴m＞0，n＞0，下用1的變換構(gòu)造出可以用基本不等式來求求最值．

解答：解：由已知定點A坐標(biāo)為（-1，-1），由點A在直線mx+ny+1=0上，
∴-m-n+1=0，即m+n=1，
又mn＞0，∴m＞0，n＞0，
∴

1

m

+

2

n

=(

1

m

+

2

n

)(m+n)=

m+n

m

+

2m+2n

n

=3+

n

m

+

2m

n

≥3+2•

n m • 2m n

=3+2

2

，
故答案為：3+2

2

點評：當(dāng)均值不等式中等號不成立時，常利用函數(shù)單調(diào)性求最值．也可將已知條件適當(dāng)變形，再利用均值不等式，使得等號成立．均值不等式是不等式問題中的確重要公式，應(yīng)用十分廣泛．在應(yīng)用過程中，學(xué)生常忽視“等號成立條件”，特別是對“一正、二定、三相等”這一原則應(yīng)有很好的掌握．