Question

14．函數(shù)g（x）=x²-2（x∈R），f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{g（x）+x+4，x＜g（x）}\\{g（x）-x，x≥g（x）}\end{array}\right.$
（1）作出f（x）的函數(shù)圖象；
（2）寫(xiě)出f（x）的單調(diào)區(qū)間及值域．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)函數(shù)g（x）=x²-2（x∈R），f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{g（x）+x+4（x＜g（x））}\\{g（x）-x，x≥g（x）}\end{array}\right.$，先求出函數(shù)f（x）的解析式，進(jìn)而結(jié)合二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，可得f（x）的函數(shù)圖象；
（2）根據(jù)（1）中函數(shù)的圖象，可寫(xiě)出f（x）的單調(diào)區(qū)間及值域．

解答 解：（1）∵函數(shù)g（x）=x²-2（x∈R），
由x＜g（x）=x²-2得：x＜-1，或x＞2，
由x≥g（x）=x²-2得：-1≤x≤2，
∴f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{g（x）+x+4（x＜g（x））}\\{g（x）-x，x≥g（x）}\end{array}\right.$=$\left\{\begin{array}{l}{x}^{2}+x+2，x＜-1，或x＞2\\{x}^{2}-x-2，-1≤x≤2\end{array}\right.$，
其圖象如下圖所示：

（2）由（1）中函數(shù)圖象可得：
f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（-∞，$\frac{1}{2}$]，
單調(diào)遞增區(qū)間為[$\frac{1}{2}$，+∞），
值域?yàn)閇$-\frac{9}{4}$，0]∪（1，+∞）

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，是解答的關(guān)鍵．