Question

15．設(shè)橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F₁、F₂，過F₂作橢圓長軸的垂線交橢圓于點(diǎn)P，若在△F₁PF₂中，∠F₁PF₂=60°，則橢圓的離心率是（　�。�

• A． $\frac{\sqrt{3}}{3}$
• B． 2-$\sqrt{2}$
• C． 2-$\sqrt{3}$
• D． $\frac{2-\sqrt{3}}{2}$

Answer 1

分析 由題意可知：設(shè)橢圓的方程為：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$（a＞b＞0），則將x=c代入橢圓方程$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$，解得：y=±$\frac{^{2}}{a}$，丨PF₁丨=$\frac{^{2}}{a}$，由∠F₁PF₂=60°，則丨PF₂丨=$\frac{2^{2}}{a}$，由橢圓的定義可知：則$\frac{^{2}}{a}$+$\frac{2^{2}}{a}$=2a，則a²=$\frac{3}{2}$b²，由橢圓的離心率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1-\frac{^{2}}{{a}^{2}}}$=$\sqrt{1-\frac{2}{3}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，即可求得橢圓的離心率．

解答 解：設(shè)橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，設(shè)橢圓的方程為：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$（a＞b＞0），
過F₂作橢圓長軸的垂線交橢圓于點(diǎn)P（x，y）（y＞0），
則將x=c代入橢圓方程$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$，
解得：y=±$\frac{^{2}}{a}$，即丨PF₁丨=$\frac{^{2}}{a}$，
∵∠F₁PF₂=60°，
∴∠PF₁F₂=30°，
∴丨PF₂丨=$\frac{2^{2}}{a}$，
由橢圓的定義可知：丨PF₁丨+丨PF₂丨=2a，即$\frac{^{2}}{a}$+$\frac{2^{2}}{a}$=2a，則a²=$\frac{3}{2}$b²，
由橢圓的離心率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1-\frac{^{2}}{{a}^{2}}}$=$\sqrt{1-\frac{2}{3}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴橢圓的離心率e=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)的應(yīng)用，考查橢圓的定義，考查橢圓的通徑的求法，考查數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題．