Question

1．（理）已知△ABC中，若sinA=m，sinB=n，當(dāng)m、n滿足條件m、n有且只有一個(gè)為1時(shí)（只需寫(xiě)出滿意的一個(gè)條件），cosC具有唯一確定的值．

Answer 1

分析 由題意和正弦定理可得$\frac{sinA}{a}$=$\frac{sinB}$=$\frac{sinC}{c}$=k，可得a=$\frac{m}{k}$，b=$\frac{n}{k}$，c=$\frac{sinC}{k}$，代入余弦定理可得2abcodC=a₂+b²-c²，由關(guān)于cosC的二次方程有唯一的解可得．

解答 解：∵△ABC中sinA=m，sinB=n，
由正弦定理可得$\frac{sinA}{a}$=$\frac{sinB}$=$\frac{sinC}{c}$=k，
∴a=$\frac{m}{k}$，b=$\frac{n}{k}$，c=$\frac{sinC}{k}$，
再由余弦定理可得2abcodC=a₂+b²-c²，
∴$\frac{2mn}{{k}^{2}}$cosC=$\frac{{m}^{2}}{{k}^{2}}$+$\frac{{n}^{2}}{{k}^{2}}$-$\frac{si{n}^{2}C}{{k}^{2}}$=$\frac{{m}^{2}+{n}^{2}-（1-co{s}^{2}C）}{{k}^{2}}$，
∴2mncosC=m²+n²-1+cos²C，即cos²C-2mncosC+（m²+n²-1）=0，
由cosC具有唯一確定的值可得△=4m²n²-4（m²+n²-1）=0，
整理可得（m²-1）（n²-1）=0，m、n不可能同時(shí)為1，
∴當(dāng)m、n有且只有一個(gè)為1即該三角形為直角三角形時(shí)，cosC具有唯一確定的值．
故答案為：m、n有且只有一個(gè)為1

點(diǎn)評(píng) 本題考查解三角形，涉及正余弦定理和一元二次方程根的存在性，屬中檔題．