Question

如圖，在三棱錐P-ABC中，除棱PC外，其余棱均等長，M為棱AB的中點(diǎn)，O為線段MC上靠近點(diǎn)M的三等分點(diǎn)．
（1）若PO⊥MC，求證：PO⊥平面ABC；
（2）試在平面PAB上確定一點(diǎn)Q，使得OQ∥平面PAC，且OQ∥平面PBC，并給出證明．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與平面垂直的判定,直線與平面平行的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）由已知條件推導(dǎo)出CM⊥AB，PM⊥AB，從而AB⊥平面PMC，進(jìn)而AB⊥PO．又PO⊥MC，由此能證明PO⊥平面ABC．
（2）Q為線段MP上靠近M點(diǎn)的三等分點(diǎn)時(shí)，OQ∥平面PAC，且OQ∥平面PBC，利用平行線等分線段成比例性質(zhì)進(jìn)行證明．

解答： （1）證明：由題意得：O為△ABC的中心，則CM⊥AB，
∵M(jìn)為棱AB的中點(diǎn)，PA=PB，∴PM⊥AB，…（2分）
又PM∩CM=M，∴AB⊥平面PMC，…（4分）
又PO?平面PMC，∴AB⊥PO．
又PO⊥MC，MC∩AB=M，
∴PO⊥平面ABC…（7分）
（2）解：∵O為線段MC上靠近點(diǎn)M的三等分點(diǎn)，
∴Q為線段MP上靠近M點(diǎn)的三等分點(diǎn)時(shí)，
OQ∥平面PAC，且OQ∥平面PBC…（9分）
證明如下：
∵

MQ

QP

=

MO

OC

，∴OQ∥PC，又OQ?平面PAC，PC?平面PAC，
∴OQ∥平面PAC…（12分）
∵OQ∥PC，又OQ?平面PBC，PC?平面PBC，
∴OQ∥平面PBC．…（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與平面垂直的證明，考查直線與平面平行的證明，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．