Question

已知非常數(shù)函數(shù)f（x）在上可導，當x∈（-∞，1]時，有（1-x）f'（x）≤0，且對任意x∈R都有f（1-x）=f（1+x），則不等式f（2-x）＞f（2x+1）的解集是

(-1，

1

3

)

．

Answer 1

分析：先由當x∈（-∞，1]時，有（1-x）f'（x）≤0，得到函數(shù)在x∈（-∞，1]上為增函數(shù)，再將變量轉(zhuǎn)化到區(qū)間x∈（-∞，1]，利用單調(diào)性解不等式，應注意函數(shù)的定義域．

解答：解：∵當x∈（-∞，1]時，有（1-x）f'（x）≤0，∴f'（x）≥0，∴函數(shù)在x∈（-∞，1]上為增函數(shù)
又f（1-x）=f（1+x），∴f（2-x）=f（x），
∴f（x）＞f（2x+1），∴

x≤1 2x+1≤1 x＞2x+1

，∴x≤0，
故答案為（-∞，0]

點評：本題主要考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查函數(shù)的對稱性，考查利用單調(diào)性解不等式，應注意函數(shù)的定義域．