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如圖，正方形與梯形所在的平面互相垂直，，∥,,點在線段上．

（I）當點為中點時，求證：∥平面；
（II）當平面與平面所成銳二面角的余弦值為時，求三棱錐 的體積．

（I）建立空間直角坐標系，證明，進而得證；（II）

解析試題分析：
（I ）以直線DA,BC,DE分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系，
則,所以，
所以，       2分
又是平面的一個法向量，,所以,
所以∥平面.      4分
（II）設，則，又，
則，，
取 得 ， 即 ，
又由題設，是平面的一個法向量，   8分
∴     10分
即點為中點，此時，，為三棱錐的高，
∴ .           12分
考點：本小題主要考查線面平行，二面角，三棱錐的體積計算.
點評：解決立體幾何問題，可以用相關的定理證明，也可以用空間向量證明，利用空間向量也要依據相應的判定定理和性質定理，并且要注意各個角的取值范圍.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：解答題

如下圖所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，AA1＝4，點D是AB的中點．

(1)求證：AC⊥BC1；
(2)求證：AC1∥平面CDB1；
(3)求異面直線AC1與B1C所成角的余弦值．

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

在如圖所示的多面體ABCDE中，AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，AC=AD=CD=DE=2，AB=1，G為AD中點．

（1）請在線段CE上找到點F的位置，使得恰有直線BF∥平面ACD，并證明這一事實；
（2）求平面BCE與平面ACD所成銳二面角的大�。�
（3）求點G到平面BCE的距離．

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

如圖，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB=AC=2，AA1=6，點E、F分別在棱BB1、CC1上，且BE＝BB1­，C1F＝CC1.

（1）求異面直線AE與A1 F所成角的大�。�
（2）求平面AEF與平面ABC所成角的余弦值.

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

如圖：在多面體EF-ABCD中，四邊形ABCD是平行四邊形，△EAD為正三角形，且平面EAD平面ABCD，EF∥AB, AB=2EF=2AD=4，.

（Ⅰ）求多面體EF-ABCD的體積；
（Ⅱ）求直線BD與平面BCF所成角的大�。�

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

已知ABCD是矩形，AD=2AB，E，F(xiàn)分別是線段AB，BC的中點，PA⊥平面ABCD.
(Ⅰ)求證：DF⊥平面PAF；
(Ⅱ)在棱PA上找一點G，使EG∥平面PFD，當PA=AB=4時，求四面體E-GFD的體積.

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

如圖，四邊形ABCD是正方形，PB^平面ABCD，MA^平面ABCD，PB＝AB＝2MA.

求證：（1）平面AMD∥平面BPC；（2）平面PMD^平面PBD．

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

（本題滿分為12分）
在四棱錐中，底面，,,,,是的中點．

（I）證明：；
（II）證明：平面；
（III）求二面角的余弦值．

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

（本小題滿分13分）如圖所示，四棱錐中，底面是邊長為2的菱形，是棱上的動點．

（Ⅰ）若是的中點，求證：//平面；
（Ⅱ）若，求證：；
（III）在（Ⅱ）的條件下，若，求四棱錐的體積．

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