已知點是橢圓:上一點,分別為的左右焦點,,的面積為.
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)設,過點作直線,交橢圓異于的兩點,直線的斜率分別為,證明:為定值.
(Ⅰ);(Ⅱ)詳見解析.
【解析】
試題分析:本題考查橢圓的定義、余弦定理及韋達定理的應用.第一問是利用三角形面積公式、余弦定理、橢圓的定義,三個方程聯(lián)立,解出,再根據(jù)的關系求,本問分析已知條件是解題的關鍵;第二問是直線與橢圓相交于兩點,先設出兩點坐標,本題的突破口是在消參后的方程中找出兩根之和、兩根之積,整理斜率的表達式,但是在本問中需考慮直線的斜率是否存在,此題中蘊含了分類討論的思想的應用.
試題解析:(Ⅰ)在中,
由,得.
由余弦定理,得
,
從而,即,從而,
故橢圓的方程為. 6分
(Ⅱ)當直線的斜率存在時,設其方程為,
由,得. 8分
設,,,.
從而. 11分
當直線的斜率不存在時,得,得.
綜上,恒有. 12分
考點:1.橢圓的定義;2.韋達定理;3.直線的斜率.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
. (本小題滿分13分)已知點是橢圓上的一點,,是橢圓的兩個焦點,且滿足.(Ⅰ)求橢圓的方程及離心率;(Ⅱ)設點,是橢圓上的兩點,直線,的傾斜角互補,試判斷直線的斜率是否為定值?并說明理由.
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科目:高中數(shù)學 來源:2013-2014學年江西新余市高三上學期期末質量檢測文科數(shù)學試卷(解析版) 題型:選擇題
已知點是橢圓上的一動點,為橢圓的兩個焦點,是坐標原點,若是的角平分線上的一點,且,則的取值范圍為( )
A. B. C. D.
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科目:高中數(shù)學 來源:2012-2013學年浙江省高三回頭考聯(lián)考理科數(shù)學試卷(解析版) 題型:解答題
(本題15分)已知點是橢圓E:()上一點,F1、F2分別是橢圓E的左、右焦點,O是坐標原點,PF1⊥x軸.
(Ⅰ)求橢圓E的方程;
(Ⅱ)設A、B是橢圓E上兩個動點,().求證:直線AB的斜率為定值;
(Ⅲ)在(Ⅱ)的條件下,當△PAB面積取得最大值時,求λ的值.
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科目:高中數(shù)學 來源:2011-2012學年重慶市高三第三次模擬測試題文科數(shù)學 題型:解答題
(本小題滿分12分)
已知點是橢圓上一點,是橢圓的兩焦點,且滿足
(Ⅰ) 求橢圓的兩焦點坐標;
(Ⅱ) 設點是橢圓上任意一點,如果最大時,求證、兩點關于原點不對稱.
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