Question

已知等差數(shù)列{a_n}滿足：a₃=5，a₅+a₇=22．{a_n}的前n 項(xiàng)和為S_n．
（Ⅰ）求a_n及S_n；
（Ⅱ）令bn=2n-1an(n∈N*)，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據(jù)條件建立方程組，即可求出等差數(shù)列的首項(xiàng)和公差，即可求a_n及S_n；
（Ⅱ）利用錯位相減法即可求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

解答：解：（1）在等差數(shù)列中，∵a₃=5，a₅+a₇=22．
∴

a1+2d=5 2a1+10d=22

，解得

a1=1 d=2

，
∴a_n=1+2（n-1）=2n-1，S_n=n²．
（2）∵bn=2n-1an(n∈N*)，
∴bn=(2n-1)?2n-1，
∴T_n=1+3•2+5•2²+…+（2n-1）•2^n-1，①
∴2T_n=2+3?2²+5?2³+???+（2n-3）2^n-1+（2n-1）2ⁿ，②，
兩式相減得-Tn=1+2(2+22+???+2n-1)-(2n-1)2n=1+2?

2-2n

1-2

-(2n-1)2n=1+2（2ⁿ-2）-（2n-1）2ⁿ，
∴Tn=(2n-3)2n+3．

點(diǎn)評：本題主要考查數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和的計(jì)算，要求熟練掌握錯位相減法進(jìn)行求和，考查學(xué)生的計(jì)算能力．