Question

1．在△PAB中，已知點(diǎn)$A（{-\sqrt{6}，0}）$、B（$\sqrt{6}$，0），動(dòng)點(diǎn)P滿足|PA|=|PB|+4．
（Ⅰ）求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程；
（Ⅱ）設(shè)M（-2，0），N（2，0），過點(diǎn)N作直線l垂直于AB，且l與直線MP交于點(diǎn)Q，設(shè)點(diǎn)Q關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為R，求證：$\overrightarrow{OP}•\overrightarrow{OR}$為定值；
（Ⅲ）在（II）的條件下，試問x軸上是否存在定點(diǎn)T，使得PN⊥QT．若存在，求出點(diǎn)T的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （I）由題意可得，動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是以A、B為焦點(diǎn)的雙曲線的右支除去其與x軸的交點(diǎn)．下面結(jié)合待定系數(shù)法求出雙曲線方程即可；
（II）由題意，R（2，-4k），直線MP的斜率存在且不為0，設(shè)直線l的方程x=2．設(shè)MP的方程為y=k（x+2），將直線的方程代入雙曲線的方程，消去y得到關(guān)于x的一元二次方程，求出P的坐標(biāo)，即可得出結(jié)論；
再結(jié)合根系數(shù)的關(guān)系利用垂直條件即可求得所求T的坐標(biāo)；
（III）由（II）知利用k表示出向量 $\overrightarrow{PN}$=（$\frac{8{k}^{2}}{1-2{k}^{2}}$，-$\frac{4k}{1-2{k}^{2}}$），$\overrightarrow{QT}$=（t-2，-4k），最后結(jié)合向量的數(shù)量積求出結(jié)果即得．

解答 解：（I）∵|PA|-|PB|=4＜|AB|，∴動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是以A、B為焦點(diǎn)的雙曲線的右支除去其與x軸的交點(diǎn)．
設(shè)雙曲線方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$（a＞0，b＞0）．
由已知，得$\left\{\begin{array}{l}{c=\sqrt{6}}\\{2a=4}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{c=\sqrt{6}}\\{a=2}\end{array}\right.$
∴b=$\sqrt{2}$．（3分）
∴動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為$\frac{{x}^{2}}{4}-\frac{{y}^{2}}{2}=1$（x＞2）．
（II）由題意，直線MP的斜率存在且不為0，設(shè)直線l的方程x=2．
設(shè)MP的方程為y=k（x+2）．
∵點(diǎn)Q是l與直線MP的交點(diǎn)，∴Q（2，4k）．
∴R（2，-4k），∴$\overrightarrow{OR}$=（2，-4k），
設(shè)P（x₀，y₀）
由y=k（x+2）代入雙曲線方程，整理得（1-2k²）x²-8k²x-（8k²+4）=0．
則此方程必有兩個(gè)不等實(shí)根x₁=-2，x₂=x₀＞2，∴1-2k²≠0，且-2x₀=-$\frac{8{k}^{2}+4}{1-2{k}^{2}}$
∴y₀=$\frac{4k}{1-2{k}^{2}}$
∴P（$\frac{4{k}^{2}+2}{1-2{k}^{2}}$，$\frac{4k}{1-2{k}^{2}}$）
∴$\overrightarrow{OP}$=（$\frac{4{k}^{2}+2}{1-2{k}^{2}}$，$\frac{4k}{1-2{k}^{2}}$）
∴$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{OR}$=$\frac{4{k}^{2}+2}{1-2{k}^{2}}$×2+$\frac{4k}{1-2{k}^{2}}$×（-4k）=4
（III）設(shè)T（t，0），要使得PN⊥QT，只需$\overrightarrow{PN}•\overrightarrow{QT}$=0
由N（2，0），$\overrightarrow{PN}$=（$\frac{8{k}^{2}}{1-2{k}^{2}}$，-$\frac{4k}{1-2{k}^{2}}$），$\overrightarrow{QT}$=（t-2，-4k），
∴$\overrightarrow{PN}$•$\overrightarrow{QT}$=$\frac{1}{1-2{k}^{2}}$[8k²（t-2）-16k²]=0（10分）
∵k≠0，∴t=4．
∴所求T的坐標(biāo)為（4，0）

點(diǎn)評(píng) 直線與圓錐曲線聯(lián)系在一起的綜合題在高考中多以高檔題、壓軸題出現(xiàn)，主要涉及位置關(guān)系的判定，弦長(zhǎng)問題、最值問題、對(duì)稱問題、軌跡問題等．