Question

設(shè)函數(shù)，其中為常數(shù)．

（1）當(dāng)時(shí)，判斷函數(shù)在定義域上的單調(diào)性；

（2）若函數(shù)的有極值點(diǎn)，求的取值范圍及的極值點(diǎn)；

（3）求證對(duì)任意不小于3的正整數(shù)，不等式都成立．

Answer 1

（1）函數(shù)在定義域上單調(diào)遞增．

       （2）當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)有極值點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，有唯一最小值點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，有一個(gè)極大值點(diǎn)和一個(gè)極小值點(diǎn)    

     （3）證明見(jiàn)解析。

解析:

（1）由題意知，的定義域?yàn)?img width=48 height=21 src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/1899/sx/107/11507.gif" >，

     …… 1分

當(dāng)時(shí)， ，函數(shù)在定義域上單調(diào)遞增．   …… 2分

（2）①由（Ⅰ）得，當(dāng)時(shí)，函數(shù)無(wú)極值點(diǎn)．

………3分

②當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)不同解，

時(shí)，，

此時(shí)，隨在定義域上的變化情況如下表：

	減	極小值	增

由此表可知：時(shí)，有唯一極小值點(diǎn)，   …… 5分

ii)   當(dāng)時(shí)，0＜＜1 此時(shí)，，隨的變化情況如下表：

	增	極大值	減	極小值	增

由此表可知：時(shí)，有一個(gè)極大值和一個(gè)極小值點(diǎn)；綜上所述：當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)有極值點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，有唯一最小值點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，有一個(gè)極大值點(diǎn)和一個(gè)極小值點(diǎn)       …… 8分

（3）由(2)可知當(dāng)時(shí)，函數(shù)，

此時(shí)有唯一極小值點(diǎn)

且          …… 9分

                 

…… 11分

令函數(shù) …… 12分

    …… 14分