(08年石景山區(qū)統(tǒng)一測試)（14分）

已知函數(shù)．

    （Ⅰ）若在上單調(diào)遞增，求實數(shù)的取值范圍；

    （Ⅱ）若定義在區(qū)間D上的函數(shù)對于區(qū)間D上的任意兩個值，總有不等式成立，則稱函數(shù)為區(qū)間D上的  “凸函數(shù)”.試證當時，為“凸函數(shù)”.

解析：（Ⅰ）由，得.    ………………2分

 由函數(shù)為上單調(diào)增函數(shù)，得在上恒成立，

 即不等式在上恒成立.

 也即在上恒成立.           ……………………………4分

令，上述問題等價于．

而為在上的減函數(shù)，則．

于是為所求.                               ……………………………6分

（Ⅱ）證明：由，得

．

．

     而 ．            ①

     ∵ ，∴ .      ……………………………9分

     又，

     ∴ ．                                    ②

                                                ……………………………11分

   ∵  ，∴ .

   ∴ .                             ③

                                              ……………………………13分

   由①、②、③，得

   .

   即，從而由凸函數(shù)的定義可知函數(shù)為凸函     

   數(shù).                                        ……………………………14分

 

練習(xí)冊系列答案
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