Question

在平面直角坐標(biāo)系xoy中，曲線C₁的參數(shù)方程為 （a＞b＞0，ϕ為參數(shù)），在以O(shè)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，曲線C₂是圓心在極軸上，且經(jīng)過極點(diǎn)的圓．已知曲線C₁上的點(diǎn)M（1，）對應(yīng)的參數(shù)φ=，曲線C₂過點(diǎn)D（1，）．
（I）求曲線C₁，C₂的直角坐標(biāo)方程；
（II）若點(diǎn)A（ ρ ₁，θ ），B（ ρ ₂，θ+） 在曲線C₁上，求的值．

Answer 1

【答案】分析：（I）將及對應(yīng)的參數(shù)，代入曲線C₁的參數(shù)方程，求出a、b的值，可得曲線C₁的方程．把點(diǎn)D的
極坐標(biāo)化為直角坐標(biāo)代入圓C₂的方程為（x-R）²+y²=R² ，求得R=1，即可得到曲線C₂的方程．
（II）把A、B兩點(diǎn)的極坐標(biāo)化為直角坐標(biāo)，代入曲線C₁的方程可得，，從而求得的值．
解答：解：（I）將及對應(yīng)的參數(shù)，代入，得，即，
所以曲線C₁的方程為．
設(shè)圓C₂的半徑為R，由題意圓C₂的方程為（x-R）²+y²=R² ．
由D的極坐標(biāo) ，得，代入（x-R）²+y²=R²，解得R=1，
所以曲線C₂的方程為（x-1）²+y² =1．
（II）因?yàn)辄c(diǎn)A（ρ₁，θ），在曲線C₁上，又點(diǎn)A的直角坐標(biāo)為（ρ₁cosθ，ρ₁sinθ），
點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為ρ₂ cos（θ+）=-ρ₂sinθ，點(diǎn)B的縱坐標(biāo)為ρ₂sin（θ+）=ρ₂cosθ，
所以，，
所以．（10分）
點(diǎn)評：本題主要考查把參數(shù)方程化為普通方程的方法，把極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程的方法，屬于基礎(chǔ)題．