精英家教網(wǎng)已知圓心為點C（2，1）的圓與直線3x+4y-35=0相切．
（1）求圓C的標準方程；
（2）對于圓C上的任一點P，是否存在定點A（不同于原點O）使得
|PA||PO|
恒為常數(shù)？若存在，求出點A的坐標；若不存在，請說明理由．
分析：（1）利用圓心為點C（2，1）的圓與直線3x+4y-35=0相切，根據(jù)點到直線的距離公式，求出圓的半徑，即可求圓C的標準方程；
（2）設(shè)P（x，y），定點A（m，n），（m，n不同時為0），根據(jù)
|PA|
|PO|
=λ（λ為常數(shù)），可得
(x-m)2+(y-n)2
x2+y2
=λ，進而整理可得（1-λ2）（20+4x+2y）-2mx-2ny+m2+n2=0，從而
4(1-λ2)=2m
2(1-λ2)=2n
20(1-λ2)=-m2-n2
，由此可得點A的坐標．
解答：解：（1）因為圓心為點C（2，1）的圓與直線3x+4y-35=0相切，
所以點C到直線3x+4y-35=0的距離為d=
|6+4-35|
32+42
=5=r，…（2分）
所以求圓C的標準方程為（x-2）2+（y-1）2=25．…（4分）
（2）設(shè)P（x，y），且（x-2）2+（y-1）2=25，即x2+y2=20+4x+2y
設(shè)定點A（m，n），（m，n不同時為0），
|PA|
|PO|
=λ（λ為常數(shù)）．
則
(x-m)2+(y-n)2
x2+y2
=λ…（6分）
兩邊平方，整理得（1-λ2）（x2+y2）-2mx-2ny+m2+n2=0
代入x2+y2=20+4x+2y后得（1-λ2）（20+4x+2y）-2mx-2ny+m2+n2=0恒成立
所以，
4(1-λ2)=2m
2(1-λ2)=2n
20(1-λ2)=-m2-n2
…（9分）
解得
m=-8
n=-4
λ=
5

即A（-8，-4）．…（10分）
點評：本題考查圓的方程，考查直線與圓的位置關(guān)系，考查存在性問題，考查學生分析解決問題的能力，有難度．
練習冊系列答案
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（1）求圓C的標準方程；
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2t
）（t∈R，t≠0）為圓心的圓與x軸交于點O，A，與y軸交于點O，B，其中O為原點．
（Ⅰ）當t=2時，求圓C的方程；
（Ⅱ）求證：△OAB的面積為定值；
（Ⅲ）設(shè)直線y=-2x+4與圓C交于點M，N，若|OM|=|ON|，求圓C的方程．

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