Question

已知函數(shù)f（x）=asinxcosx-2cos²x+1的圖象經(jīng)過點(

π

8

，0)．
（Ⅰ）求實數(shù)a的值；
（Ⅱ）若x∈[0，π），求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用二倍角公式化簡函數(shù)f（x）的解析式為

a

2

sin2x -cos2x，由f(

π

8

)=0，解得a的值．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得 函數(shù)f（x）的解析式為 sin2x-cos2x，再利用兩角差的正弦公式化為

2

sin(2x-

π

4

)，由
由 2kπ+

π

2

≤2x-

π

4

≤2kπ+

3π

2

，k∈z，以及x∈[0，π），求出x的范圍，即得f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間．

解答：解：（Ⅰ） f(x)=asinxcosx-2cos2x+1=

a

2

sin2x-cos2x．…..（2分）
依題意得f(

π

8

)=0，即

a

2

sin

π

4

-cos

π

4

=0，即

2

4

a-

2

2

=0，解得a=2．…..（4分）
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）得f(x)=sin2x-cos2x=

2

sin(2x-

π

4

)．…..（5分）
由 2kπ+

π

2

≤2x-

π

4

≤2kπ+

3π

2

，k∈z，解得kπ+

3π

8

≤x≤kπ+

7π

8

，k∈z．
再由x∈[0，π），可得

3π

8

≤x≤

7π

8

，
故f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間[

3π

8

，

7π

8

]．…..（8分）

點評：本題主要考查兩角差的正弦公式，二倍角公式，正弦函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用，屬于中檔題．