Question

12．若x∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{5π}{12}$]，則f（x）=$\frac{si{n}^{2}x-2co{s}^{2}x}{sinxcosx}$的最小值為-1．

Answer 1

分析 由題意利用同角三角函數(shù)的基本關系求得f（x）=tanx-$\frac{2}{tanx}$．令t=tanx，則 1≤t≤2+$\sqrt{3}$，f（x）=y=t-$\frac{2}{t}$，利用導數(shù)的符號可得函數(shù)y在[1，2+$\sqrt{3}$]上單調(diào)遞增，從而求得y的最小值．

解答 解：x∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{5π}{12}$]，則f（x）=$\frac{si{n}^{2}x-2co{s}^{2}x}{sinxcosx}$=$\frac{{tan}^{2}x-2}{tanx}$=tanx-$\frac{2}{tanx}$，tan$\frac{5π}{12}$=tan（$\frac{π}{6}$+$\frac{π}{4}$）=$\frac{\frac{\sqrt{3}}{3}+1}{1-\frac{\sqrt{3}}{3}×1}$=2+$\sqrt{3}$，
令t=tanx，則 1≤t≤2+$\sqrt{3}$，f（x）=y=t-$\frac{2}{t}$，∴y′=1+2•$\frac{1}{{t}^{2}}$＞0，故函數(shù)y在[1，2+$\sqrt{3}$]上單調(diào)遞增，
故當t=1時，f（x）=y取得最小值為1-2=-1，
故答案為：-1．

點評 本題主要考查同角三角函數(shù)的基本關系，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)的最值，屬于中檔題．