Question

設數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且S_n=（m+1）-ma_n對于任意的正整數(shù)n都成立，其中m為常數(shù)，且m＜-1．
（1）求證：數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列；
（2）設數(shù)列{a_n}的公比q=f（m），數(shù)列{b_n}滿足：b1=

1

3

a1，b_n=f（b_n-1）（n≥2，n∈N），求證：數(shù)列{

1

bn

}是等差數(shù)列，并求數(shù)列{b_nb_n+1}的前n項和．

Answer 1

分析：（1）由S_n=（m+1）-ma_n可得S_n+1=（m+1）-ma_n+1，兩式相減整理后即可證得{a_n}是等比數(shù)列；
（2）由（1）可求得a₁，從而可得b₁，由q=f（m）=

m

m+1

；得b_n=f（b_n-1）=

bn-1

b n-1+1

；兩邊取倒數(shù)即可得到數(shù)列{

1

bn

}是等差數(shù)列；進而求出其通項，再利用裂項法求出數(shù)列{b_nb_n+1}的前n項和即可．

解答：解：（1）由已知S_n=（m+1）-ma_n；
S_n+1=（m+1）-ma_n+1，
相減，得：a_n+1=ma_n-ma_n+1，
即

an+1

an

=

m

m+1

，
所以{a_n}是等比數(shù)列
（2）當n=1時，a₁=m+1-ma₁，
則a₁=1，
從而b₁=

1

3

，
由（1）知q=f（m）=

m

m+1

，
所以b_n=f（b_n-1）=

bn-1

b n-1+1

（n≥2）
∴

1

bn

=1+

1

bn-1

，
∴數(shù)列{

1

bn

}是首項為

1

3

，公差為1的等差數(shù)列
∴

1

bn

=3+（n-1）=n+2，
故：bn=

1

n+2

    （n≥1），
∴{b_nb_n+1=

1

(n+2)(n+3)

=

1

n+2

-

1

n+3

；
∴數(shù)列{b_nb_n+1}的前n項和A=（

1

3

-

1

4

）+（

1

4

-

1

5

）+…+（

1

n+2

-

1

n+3

）=

1

3

-

1

n+3

=

n

3n+9

．

點評：本題考查數(shù)列的求和，難點在于求b_n，著重考查學生裂項法求和，屬于中檔題．