Question

已知函數(shù)f（x）=ax²+bx+c（a＞0，b∈R，c∈R）
（Ⅰ）若函數(shù)f（x）最小值是f（-1）=0，且c=1，F(x)=

f(x)，x＞0 -f(x)，x＜0

，求F（3）+F（-4）的值
（Ⅱ）若a=1，c=0，且|f（x）|≤1在區(qū)間（0，2]上恒成立，試求b的取值范圍．

Answer 1

考點：函數(shù)恒成立問題

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）根據(jù)函數(shù)f（x）最小值是f（-1）=0，且c=1，求出a，b，c的值，即可求F（3）+F（-4）的值；
（Ⅱ）將不等式|f（x）|≤1對x∈（0，2]恒成立，轉(zhuǎn)化為參數(shù)恒成立，即可求b的取值范圍；

解答： 解：（Ⅰ）因為f（x）最小值是f（-1）=0，且c=1
所以

- b 2a =-1 f(-1)=a-b+1=0

，
得

a=1 b=2

所以f（x）=x²+2x+1=（x+1）²，
因為F(x)=

f(x)，x＞0 -f(x)，x＜0

所以F（3）+F（-4）=7．
（Ⅱ）因為a=1，c=0，
所以f（x）=x²+bx，
不等式|f（x）|≤1在區(qū)間（0，2]上恒成立，
即-1≤x²+bx≤1在區(qū)間（0，2]上恒成立
即  -(

1

x

+x)≤b≤

1

x

-x
解得  -2≤b≤-

3

2

所以b的取值范圍是[-2，-

3

2

]．

點評：本題主要考查二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，以及不等式恒成立問題，運算量較大，綜合性較強(qiáng)，難度較大．