Question

如圖，四棱錐P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，四邊形ABCD中，AB⊥AD，AB＋AD＝4，CD＝，．

(Ⅰ)求證：平面PAB⊥平面PAD；

(Ⅱ)設(shè)AB＝AP．

(i)若直線PB與平面PCD所成的角為30°，求線段AB的長；

(ii)在線段AD上是否存在一個(gè)點(diǎn)G，使得點(diǎn)G到點(diǎn)P，B，C，D的距離都相等？說明理由．

Answer 1

答案：
解析：

解法一： 　(Ⅰ)因?yàn)?IMG style="vertical-align:middle" SRC="http://thumb.1010pic.com/pic7/pages/60A2/3992/0019/8780ac1fc1eaf2d16df20f0b6544b398/C/Image172.gif" width=38 height=17>平面ABCD，平面ABCD， 　　所以，又 　　所以平面PAD． 　　又平面PAB，所以平面平面PAD． 　　(Ⅱ)以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系 　　A－xyz(如圖) 　　 　　 　　解得(舍去，因?yàn)锳D)，所以 　　(ii)假設(shè)在線段AD上存在一個(gè)點(diǎn)G，使得點(diǎn)G到點(diǎn)P，B，C，D的距離都相等， 　　設(shè)G(0，m，0)(其中) 　　則， 　　由得，(2) 　　由(1)、(2)消去t，化簡得(3) 　　由于方程(3)沒有實(shí)數(shù)根，所以在線段AD上不存在一個(gè)點(diǎn)G， 　　使得點(diǎn)G到點(diǎn)P，C，D的距離都相等． 　　從而，在線段AD上不存在一個(gè)點(diǎn)G， 　　使得點(diǎn)G到點(diǎn)P，B，C，D的距離都相等． 　　 　　 　　 　　取，得平面PCD的一個(gè)法向量， 　　又，故由直線PB與平面PCD所成的角為，得 　　 　　解得(舍去，因?yàn)锳D)，所以 　　(ii)假設(shè)在線段AD上存在一個(gè)點(diǎn)G，使得點(diǎn)G到點(diǎn)P，B，C，D的距離都相等，由GC＝CD，得， 　　從而，即 　　設(shè)， 　　在中， 　　這與GB＝GD矛盾． 　　所以在線段AD上不存在一個(gè)點(diǎn)G，使得點(diǎn)G到點(diǎn)B，C，D的距離都相等，從而，在線段AD上不存在一個(gè)點(diǎn)G，使得點(diǎn)G到點(diǎn)P，B，C，D的距離都相等．