Question

已知橢圓C：的離心率為，且過點Q（1，）．
（1）求橢圓C的方程；
（2）若過點M（2，0）的直線與橢圓C相交于A，B兩點，設P點在直線x+y-1=0上，且滿足 （O為坐標原點），求實數(shù)t的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（1）設橢圓的焦距為2c，由e=，設橢圓方程為，由在橢圓上，能求出橢圓方程．
（2）設AB：y=k（x-2），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），P（x，y），由，得（1+2k²）x²-8k²x+8k²-2=0，由△=64k⁴-4（2k²+1）（8k²-2）≥0，知k∈，由此入手能夠求出實數(shù)t的最小值．
解答：解：（1）設橢圓的焦距為2c，
∵e=，∴a²=2c²，b²=c²，
設橢圓方程為，
∵在橢圓上，
∴，解得c²=1，
∴橢圓方程為．
（2）由題意知直線AB的斜率存在，
設AB：y=k（x-2），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），P（x，y），
由，得（1+2k²）x²-8k²x+8k²-2=0，
△=64k⁴-4（2k²+1）（8k²-2）≥0，
，
即k∈，
，
∵，∴（x₁+x₂，y₁+y₂）=t（x，y），
當k=0時，t=0；
當t≠0時，
，
=，
∵點P在直線x+y-1=0上，
∴，
∴t=．
∵k∈，
∴令h==≤．
當且僅當k=時取等號．
故實數(shù)t的最小值為4-4h=．
點評：本題考查橢圓與直線的位置關系的綜合應用，考查化歸與轉化、分類與整合的數(shù)學思想，培養(yǎng)學生的抽象概括能力、推理論證能力、運算求解能力和創(chuàng)新意識．綜合性強，難度大，有一定的探索性，對數(shù)學思維能力要求較高，是高考的重點．解題時要認真審題，仔細解答．