Question

（本小題滿分14分）已知函數(shù)，且.

（1）若曲線在點(diǎn)處的切線垂直于軸，求實(shí)數(shù)的值；

（2）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的最小值；

（3）在（1）的條件下，若與的圖像存在三個(gè)交點(diǎn)，求的取值范圍.

Answer 1

（1）；（2）當(dāng)時(shí)，的最小值為，當(dāng)時(shí)，的最小值為；（3）實(shí)數(shù)的取值范圍是.

【解析】

試題分析：（1）結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義，可知在處的切線垂直于軸等價(jià)于，從而可列出關(guān)于的方程，即可求得的值；（2）分析題意可知，問(wèn)題等價(jià)于求當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在上的值域，分類討論的取值范圍，利用導(dǎo)數(shù)判斷的單調(diào)性即可求得其最小值；（3）欲使與的圖象存在三個(gè)交點(diǎn)，只需有三解，分離參數(shù)，則將問(wèn)題等價(jià)于研究函數(shù)的取值情況，可得到其大致的圖象，結(jié)合圖象可求出的取值范圍.

試題解析：（1）∵，

∴，

∵，∴；（2）由（1）知，

當(dāng)時(shí)，∵，∴在區(qū)間上單調(diào)遞減，∴的最小值為，

當(dāng)時(shí)，∵，∴在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，

∴的最小值為，綜上所述，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最小值為，

當(dāng)時(shí),函數(shù)的最小值為；（3）由，設(shè)，∵，

∴函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為，

∵時(shí)，函數(shù)的圖象在軸下方且無(wú)限靠近軸，大致圖象如下圖所示，

，，，∴實(shí)數(shù)的取值范圍是.

考點(diǎn)：1.利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程；2.函數(shù)的值域；3.根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷.