設(shè)函數(shù)y=f（x）=x（x-a）（x-b）（a、b∈R）．
（1）若a≠b，ab≠0，過兩點(diǎn)（0，0）、（a，0）的中點(diǎn)作與x軸垂直的直線，與函數(shù)y=f（x）的圖象交于點(diǎn)P（x0，f（x0）），求證：函數(shù)y=f（x）在點(diǎn)P處的切線過點(diǎn)（b，0）．
（2）若a=b（a≠0），且當(dāng)x∈[0，|a|+1]時(shí)f（x）＜2a2恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解：（1）由已知，…（1分）y'=3x2-（2a+2b）x+ab，…（2分）
所求切線斜率為，…（3分）
切線方程為，
所以，函數(shù)y=f （x）過點(diǎn)P的切線過點(diǎn)（b，0）…（5分）
（2）因?yàn)閍=b，所以y=f（x）=x（x-a）2，
，…（6分）
當(dāng)a＞0時(shí)，函數(shù)上單調(diào)遞增，在（，a）單調(diào)遞減，在（a，+∞）上單調(diào)遞增．
所以，根據(jù)題意有
即
解之得，結(jié)合a＞0，所以…（9分）
當(dāng)a＜0時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增． …（10分）
所以，根據(jù)題意有f（1-a）＜2a2，…（11分）
即（1-a）（1-a-a）2＜2a2，整理得4a3-6a2+5a-1＞0，（*）
令g（a）=4a3-6a2+5a-1，∴
∴g（a）在區(qū)間（-∞，0）單調(diào)遞增，又g（0）=-1＜0，所以“*”不等式無解．…（13分）
綜上可知：． …（15分）
分析：（1）先求切線的斜率，進(jìn)而得切線方程，由此可得結(jié)論；
（2）利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而借助于研究函數(shù)的最小值，解決恒成立問題．注意分類討論．
點(diǎn)評：本題以函數(shù)為載體，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查恒成立問題，注意運(yùn)用最值法解決恒成立問題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

13、設(shè)函數(shù)y=f（x）存在反函數(shù)y=f-1（x），且函數(shù)y=x-f（x）的圖象過點(diǎn)（1，2），則函數(shù)y=f-1（x）-x的圖象一定過點(diǎn)
（-1，2）
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)函數(shù)y=f（x）是定義在R+上的函數(shù)，并且滿足下面三個(gè)條件：①對任意正數(shù)x，y 都有f（xy）=f（x）+f（y）；②當(dāng)x＞1時(shí)，f（x）＜0；③f（3）=-1．
（1）求f（1），f（
19
）的值；
（2）證明：f（x）在R+上是減函數(shù)；
（3）如果不等式分f（x）+f（2-x）＜2成立，求x的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)函數(shù)y=f（x）的導(dǎo)函數(shù)是y=f′（x），稱εyx=f′(x)•
x
y
為函數(shù)f（x）的彈性函數(shù)．
函數(shù)f（x）=2e3x彈性函數(shù)為
3x
3x
；若函數(shù)f1（x）與f2（x）的彈性函數(shù)分別為εf 1x與εf 2x，則y=f1（x）+f2（x）（f1（x）+f2（x）≠0）的彈性函數(shù)為
 f1(x)ef1x+f2(x)ef2x  
f1(x)+f2(x)
 f1(x)ef1x+f2(x)ef2x  
f1(x)+f2(x)
．
（用εf 1x，εf 2x，f1（x）與f2（x）表示）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)函數(shù)y=f（x）在（-∞，+∞）內(nèi)有定義，對于給定的正數(shù)K，定義函數(shù)fK（x）=
f(x)，f(x)≤k
k，f(x)＞k
，取函數(shù)f（x）=2-x-e-x，若對任意的x∈（-∞，+∞），恒有fK（x）=f（x），則K的最小值為
1
1
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)函數(shù)y=f（x）在（-∞，+∞）內(nèi)有定義．對于給定的正數(shù)K，定義函數(shù)fk（x）=
f(x)，f(x)≥K
K，f(x)＜K
，取函數(shù)f（x）=2+x+e-x．若對任意的x∈（+∞，-∞），恒有fk（x）=f（x），則（　�。�

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