Question

8．已知函數(shù)f（x）=a-$\frac{2}{{2}^{x}+1}$．
（1）判斷并用定義證明函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（2）若f（x）為奇函數(shù)，求實數(shù)a的值；
（3）在（2）的條件下，解不等式：f（log${\;}_{\frac{1}{3}}$x）+f（1）＞0．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可看出x增大時，f（x）增大，從而判斷出f（x）在R上單調(diào)遞增，根據(jù)增函數(shù)的定義，設(shè)任意的x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，然后作差，通分，證明f（x₁）＜f（x₂）便可得出f（x）在R上單調(diào)遞增；
（2）根據(jù)f（x）為奇函數(shù)，f（x）又在原點有定義，從而有f（0）=0，這樣即可得出a的值；
（3）該問是在（2）的條件下，從而知道f（x）為奇函數(shù)，且在R上單調(diào)遞增，從而可由原不等式得到$lo{g}_{\frac{1}{3}}x＞-1$，這樣解該不等式即可得出原不等式的解集．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）的定義域為R；
x增大時，2^x增大，$-\frac{2}{{2}^{x}+1}$增大，f（x）增大，∴f（x）在R上單調(diào)遞增，證明如下：
設(shè)x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，則：
$f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）=\frac{2}{{2}^{{x}_{2}}+1}-\frac{2}{{2}^{{x}_{1}}+1}$=$\frac{2（{2}^{{x}_{1}}-{2}^{{x}_{2}}）}{（{2}^{{x}_{1}}+1）（{2}^{{x}_{2}}+1）}$；
∵x₁＜x₂；
∴${2}^{{x}_{1}}＜{2}^{{x}_{2}}，{2}^{{x}_{1}}-{2}^{{x}_{2}}＜0$；
又${2}^{{x}_{1}}+1＞0，{2}^{{x}_{2}}+1＞0$；
∴f（x₁）＜f（x₂）；
∴f（x）在R上單調(diào)遞增；
（2）f（x）在R上為奇函數(shù)；
∴$f（0）=a-\frac{2}{{2}^{0}+1}=a-1=0$；
∴a=1；
（3）由上面知f（x）為奇函數(shù)，且在R上單調(diào)遞增；
∴由$f（lo{g}_{\frac{1}{3}}x）+f（1）＞0$得，$f（lo{g}_{\frac{1}{3}}x）＞f（-1）$；
∴$lo{g}_{\frac{1}{3}}x＞-1$；
即$lo{g}_{\frac{1}{3}}x＞lo{g}_{\frac{1}{3}}3$；
∴0＜x＜3；
∴原不等式的解集為：（0，3）．

點評 考查增函數(shù)的定義，以及根據(jù)增函數(shù)的定義判斷并證明一個函數(shù)為增函數(shù)的方法和過程，作差的方法比較f（x₁），f（x₂），作差后，是分式的一般要通分，以及指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性．