【題目】選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程
在平面直角坐標(biāo)系中,橢圓的參數(shù)方程為(為參數(shù)),以原點(diǎn)為極點(diǎn), 軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,直線(xiàn)的極坐標(biāo)方程為.
(1)求經(jīng)過(guò)橢圓右焦點(diǎn)且與直線(xiàn)垂直的直線(xiàn)的極坐標(biāo)方程;
(2)若為橢圓上任意-點(diǎn),當(dāng)點(diǎn)到直線(xiàn)距離最小時(shí),求點(diǎn)的直角坐標(biāo).
【答案】(1)(2)
【解析】試題分析:
(1)消去參數(shù)得到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,從而得到右焦點(diǎn)的坐標(biāo).由極坐標(biāo)方程可得直線(xiàn)的直角坐標(biāo)方程為,由此可得過(guò)點(diǎn)F且與垂直的直線(xiàn)的方程,化為極坐標(biāo)方程即可.(2)設(shè)點(diǎn),可得點(diǎn)到直線(xiàn)的距離,然后根據(jù)三角函數(shù)的有關(guān)知識(shí)求解.
試題解析:
(1)將參數(shù)方程(為參數(shù))消去參數(shù)得,
∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為,
∴橢圓的右焦點(diǎn)為,
由得,
∴直線(xiàn)的直角坐標(biāo)方程為,
∴過(guò)點(diǎn)與垂直的直線(xiàn)方程為,即,
∴極坐標(biāo)方程為.
(2)設(shè)點(diǎn),
則點(diǎn)到直線(xiàn)的距離,
其中,
∴當(dāng)時(shí), 取最小值,
此時(shí).
∴,
,
∴點(diǎn)坐標(biāo)為.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù).其中是自然對(duì)數(shù)的底數(shù).
(1)求函數(shù)在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程;
(2)若不等式對(duì)任意的恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知橢圓: 經(jīng)過(guò)點(diǎn),焦距為.
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)直線(xiàn)與橢圓交于不同的兩點(diǎn)、,線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)交軸交于點(diǎn),若,求的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,以為極點(diǎn),軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,已知曲線(xiàn),直線(xiàn)的參數(shù)方程為,(為參數(shù)).直線(xiàn)與曲線(xiàn)交于兩點(diǎn).
(1)寫(xiě)出曲線(xiàn)的直角坐標(biāo)方程和直線(xiàn)的普通方程.
(2)設(shè),若成等比數(shù)列,求和的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在三棱錐中,平面,,,是中點(diǎn),是中點(diǎn),是線(xiàn)段上一動(dòng)點(diǎn).
(1)當(dāng)為中點(diǎn)時(shí),求證:平面平面;
(2)當(dāng)∥平面時(shí),求.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為,軸上方的點(diǎn)在拋物線(xiàn)上,且,直線(xiàn)與拋物線(xiàn)交于,兩點(diǎn)(點(diǎn),與不重合),設(shè)直線(xiàn),的斜率分別為,.
(Ⅰ)求拋物線(xiàn)的方程;
(Ⅱ)當(dāng)時(shí),求證:直線(xiàn)恒過(guò)定點(diǎn)并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,曲線(xiàn)C的參數(shù)方程為(為參數(shù)),在以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中,點(diǎn)A的極坐標(biāo)為,直線(xiàn)l的極坐標(biāo)方程為
(1)求直線(xiàn)l的直角坐標(biāo)方程與曲線(xiàn)C的普通方程;
(2)若B是曲線(xiàn)C上的動(dòng)點(diǎn),G為線(xiàn)段的中點(diǎn).求點(diǎn)G到直線(xiàn)l的距離的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知是拋物線(xiàn)的焦點(diǎn),點(diǎn)在軸上,為坐標(biāo)原點(diǎn),且滿(mǎn)足,經(jīng)過(guò)點(diǎn)且垂直于軸的直線(xiàn)與拋物線(xiàn)交于、兩點(diǎn),且.
(1)求拋物線(xiàn)的方程;
(2)直線(xiàn)與拋物線(xiàn)交于、兩點(diǎn),若,求點(diǎn)到直線(xiàn)的最大距離.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】2020年春節(jié)期間,全國(guó)人民都在抗擊“新型冠狀病毒肺炎”的斗爭(zhēng)中.當(dāng)時(shí)武漢多家醫(yī)院的醫(yī)用防護(hù)物資庫(kù)存不足,某醫(yī)院甚至面臨斷貨危機(jī),南昌某生產(chǎn)商現(xiàn)有一批庫(kù)存的醫(yī)用防護(hù)物資,得知消息后,立即決定無(wú)償捐贈(zèng)這批醫(yī)用防護(hù)物資,需要用A、B兩輛汽車(chē)把物資從南昌緊急運(yùn)至武漢.已知從南昌到武漢有兩條合適路線(xiàn)選擇,且選擇兩條路線(xiàn)所用的時(shí)間互不影響.據(jù)調(diào)查統(tǒng)計(jì)2000輛汽車(chē),通過(guò)這兩條路線(xiàn)從南昌到武漢所用時(shí)間的頻數(shù)分布表如下:
所用的時(shí)間(單位:小時(shí)) | ||||
路線(xiàn)1的頻數(shù) | 200 | 400 | 200 | 200 |
路線(xiàn)2的頻數(shù) | 100 | 400 | 400 | 100 |
假設(shè)汽車(chē)A只能在約定交貨時(shí)間的前5小時(shí)出發(fā),汽車(chē)B只能在約定交貨時(shí)間的前6小時(shí)出發(fā)(將頻率視為概率).為最大可能在約定時(shí)間送達(dá)這批物資,來(lái)確定這兩車(chē)的路線(xiàn).
(1)汽車(chē)A和汽車(chē)B應(yīng)如何選擇各自的路線(xiàn).
(2)若路線(xiàn)1、路線(xiàn)2的“一次性費(fèi)用”分別為3.2萬(wàn)元、1.6萬(wàn)元,且每車(chē)醫(yī)用物資生產(chǎn)成本為40萬(wàn)元(其他費(fèi)用忽略不計(jì)),以上費(fèi)用均由生產(chǎn)商承擔(dān),作為援助金額的一部分.根據(jù)這兩輛車(chē)到達(dá)時(shí)間分別計(jì)分,具體規(guī)則如下(已知兩輛車(chē)到達(dá)時(shí)間相互獨(dú)立,互不影響):
到達(dá)時(shí)間與約定時(shí)間的差x(單位:小時(shí)) | |||
該車(chē)得分 | 0 | 1 | 2 |
生產(chǎn)商準(zhǔn)備根據(jù)運(yùn)輸車(chē)得分情況給出現(xiàn)金排款,兩車(chē)得分和為0,捐款40萬(wàn)元,兩車(chē)得分和每增加1分,捐款增加20萬(wàn)元,若汽車(chē)A、B用(1)中所選的路線(xiàn)運(yùn)輸物資,記該生產(chǎn)商在此次援助活動(dòng)中援助總額為Y(萬(wàn)元),求隨機(jī)變量Y的期望值,(援助總額一次性費(fèi)用生產(chǎn)成本現(xiàn)金捐款總額)
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