Question

已知i，m，n是正整數(shù)，且1< i ≤ m < n．

（1）證明 ；

（2）證明 (1+ m )ⁿ > (1 + n )^m．

 

Answer 1

答案：
解析：

分析   ，是兩個(gè)排列數(shù)，各是i個(gè)連續(xù)正整數(shù)的積．第（1）問(wèn)應(yīng)采用商值比較法． 第（2）問(wèn)所需證明的不等式兩邊都是二項(xiàng)式，應(yīng)從其展開(kāi)式的項(xiàng)數(shù)及對(duì)應(yīng)項(xiàng)的大小入手進(jìn)行證明． 證明：（1）∵ i，m，n是正整數(shù)，且1< i ≤ m < n． ∴ ， 　　　　　　　　　　　　　　 ① ∵ m < n， ∴ 對(duì)整數(shù) k = 1，2，…，i－1， n (m－k)－m ( n－k ) = k ( m－n ) < 0 即　　   0 < n (m－k) < m ( n－k )． ∴ ． 代入①式，可得 ，故 ． （2）∵ m < n， ∴ 由二項(xiàng)式定理得 ． ∵ ， ∴ 由 可得 由此可得   故 (1+ m )n > (1 + n )m． 評(píng)述  這是一道與排列、組合、二項(xiàng)式定理相綜合的兩個(gè)不等式的證明問(wèn)題，分別采用了求商比較法和求差比較法．把握住商式和差式的結(jié)構(gòu)特征，并進(jìn)行合理的變形是證明不等式的關(guān)鍵．