Question

一個(gè)同心圓形花壇，分為兩部分，中間小圓部分種植草坪和綠色灌木，周圍的圓環(huán)分為n（n≥3，n∈N）等份，種植紅、黃、藍(lán)三色不同的花，要求相鄰兩部分種植不同顏色的花．
（1）如圖1，圓環(huán)分成的3等份為a₁，a₂，a₃，有多少不同的種植方法？如圖2，圓環(huán)分成的4等份為a₁，a₂，a₃，a₄，有多少不同的種植方法？
（2）圖3，圓環(huán)分成的n等份為a₁，a₂，a₃3，…，a_n，有多少不同的種植方法？

Answer 1

解：（1）如圖1，先對(duì)a₁部分種植，有3種不同的種法，再對(duì)a₂、a₃種植，
∵a₂、a₃與a₁不同顏色，a₂、a₃也不同．
∴S（3）=3×2=6（種）
如圖2，S（4）=3×2×2×2-S（3）=18（種）
（2）如圖3，圓環(huán)分為n等份，對(duì)a₁有3種不同的種法，對(duì)a₂、a₃、、a_n都有兩種不同的種法，
但這樣的種法只能保證a₁與a_i（i=2、3、、n-1）不同顏色，但不能保證a₁與a_n不同顏色．
于是一類是a_n與a₁不同色的種法，這是符合要求的種法，記為S（n）（n≥3）種．
另一類是a_n與a₁同色的種法，這時(shí)可以把a(bǔ)_n與a₁看成一部分，這樣的種法相當(dāng)于對(duì)n-1部分符合要求的種法，記為S（n-1）．
共有3×2^n-1種種法．
這樣就有S（n）+S（n-1）=3×2^n-1．
即S（n）-2ⁿ=-[S（n-1）-2^n-1]，則數(shù)列{S（n）-2ⁿ}（n≥3）是首項(xiàng)為S（3）-2³公比為-1的等比數(shù)列．
則S（n）-2ⁿ=[S（3）-2³]（-1）^n-3（n≥3）．
由（1）知：S（3）=6
∴S（n）-2ⁿ+（6-8）（-1）^n-3．
∴S（n）=2ⁿ-2•（-1）^n-3．
分析：（1）遇到這種需要找規(guī)律的問題，首先做比較簡(jiǎn)單的情況，看圖一先對(duì)a₁部分種植，有3種不同的種法，再對(duì)a₂、a₃種植，a₂、a₃與a₁不同顏色，a₂、a₃也不同，由分步計(jì)數(shù)原理得到結(jié)果．
（2）由題意知圓環(huán)分為n等份，做法同前兩種情況類似，對(duì)a₁有3種不同的種法，對(duì)a₂、a₃、、a_n都有兩種不同的種法，但這樣的種法只能保證a₁與a_i（i=2、3、、n-1）不同顏色，但不能保證a₁與a_n不同顏色．在這種情況下要分類，一類是a_n與a₁不同色的種法，另一類是a_n與a₁同色的種法，根據(jù)分類計(jì)數(shù)原理得到結(jié)果．
點(diǎn)評(píng)：本題考查的是排列問題，把排列問題包含在實(shí)際問題中，解題的關(guān)鍵是看清題目的實(shí)質(zhì)，把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，和這道題目類似的題，作為高考題目考過，是一個(gè)易錯(cuò)題．