Question

已知數(shù)列具有性質(zhì)：①為正數(shù)；②對(duì)于任意的正整數(shù)，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，；當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，

（1）若，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（2）若成等差數(shù)列，求的值；

(3)設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證：

Answer 1

由，可得，，…，，，，，…，

 即的前7項(xiàng)成等比數(shù)列，從第8起數(shù)列的項(xiàng)均為0．�。�2分）

故數(shù)列的通項(xiàng)公式為．　     （4分）

（2）若時(shí)，，，

由成等差數(shù)列，可知即，解得，故；(舍去)

若時(shí)，，，

由成等差數(shù)列，可知，解得，故；(舍去)（ 3分 ）   

若時(shí)，，，

由成等差數(shù)列，可知，解得，故；

若時(shí)，，，

由成等差數(shù)列，可知，解得，故；(舍去)

∴的值為2．                              　 （6分）

（3）由（），可得，   

，，

若，則是奇數(shù)，從而，

可得當(dāng)時(shí)，成立．             （3分）

又，，…

故當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．            （5分）

故對(duì)于給定的，的最大值為

，

故．