已知x＞0，y＞0，不等式（x+y）（
1
x
+
a
y
）≥9對(duì)任意正實(shí)數(shù)x，y恒成立，求a的范圍．
考點(diǎn)：基本不等式
專題：不等式的解法及應(yīng)用
分析：由于x＞0，y＞0，不等式（x+y）（
1
x
+
a
y
）≥9對(duì)任意正實(shí)數(shù)x，y恒成立，可得9≤[(x+y)(
1
x
+
a
y
)]min，（x＞0，y＞0）．利用基本不等式即可得出．
解答： 解：∵x＞0，y＞0，不等式（x+y）（
1
x
+
a
y
）≥9對(duì)任意正實(shí)數(shù)x，y恒成立，
∴9≤[(x+y)(
1
x
+
a
y
)]min，（x＞0，y＞0）．
∵（x+y）（
1
x
+
a
y
）=1+a+
y
x
+
ax
y
≥1+a+2
y
x
•
ax
y
=1+a+2
a
，當(dāng)且僅當(dāng)
y
x
=
a
時(shí)取等號(hào)．
∴9≤1+a+2
a
，解得
a
≥2，即a≥4．
∴a的取值范圍是[4，+∞）．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了等價(jià)轉(zhuǎn)化問題、基本不等式的性質(zhì)，屬于中檔題．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知△ABC外接圓O的半徑為1，且
OA
•
OB
=-
1
2
．∠C=
π
3
，從圓O內(nèi)隨機(jī)取一個(gè)點(diǎn)M，若點(diǎn)M取自△ABC內(nèi)的概率恰為
3
3
4π
，則△ABC的形狀為的形狀為（　　）
A、直角三角形
B、等邊三角形
C、鈍角三角形
D、等腰直角三角形

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

從一塊半徑為R的半圓形鋼板上截取一塊矩形鋼板，求矩形鋼板面積的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

若函數(shù)f（x）滿足：集合A={f（n）|n∈N*}中至少存在三個(gè)不同的數(shù)構(gòu)成等比數(shù)列，則稱函數(shù)f（x）是等比源函數(shù)．
（1）判斷下列函數(shù)：①y=x2；②y=lgx中，哪些是等比源函數(shù)？（不需證明）
（2）證明：函數(shù)g（x）=2x+3是等比源函數(shù)；
（3）判斷函數(shù)f（x）=2x+1是否為等比源函數(shù)，并證明你的結(jié)論．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=lnx+
x2
2
-kx，其中常數(shù)k∈R．
（1）求f（x）的單調(diào)增區(qū)間與單調(diào)減區(qū)間；
（2）若f（x）存在極值且有唯一零點(diǎn)x0，求k的取值范圍及不超過
x0
k
的最大整數(shù)m．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知曲線C：y=x2，過點(diǎn)P（0，a）（a＜0）向C做切線，切點(diǎn)分別為A，B，則
PA
•
PB
的最小值為
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知集合A={x|
1
x
＜1，x∈R}，集合B是函數(shù)y=lg（x+1）的定義域，則A∩B=
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知sin（π-α）=log8
1
4
，且α∈（-
π
2
，0），則tan（2π-α）的值為
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)E（ξ）=10，E（η）=3，則E（3ξ+5η）=
 
．

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同步練習(xí)冊(cè)答案