Question

4．設θ為第二象限角，若$tan（{θ+\frac{π}{4}}）=\frac{1}{3}$，則tanθ=-$\frac{1}{2}$；sinθ+cosθ=-$\frac{\sqrt{5}}{5}$．

Answer 1

分析 先根據(jù)兩角和差的正切公式，求出tanθ=-$\frac{1}{2}$，繼而得到2sinθ=-cosθ，再根據(jù)sin²θ+cos²θ=1，求出sinθ=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，cosθ=-$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，問題得以解決．

解答 解：tan（θ+$\frac{π}{4}$）=$\frac{tanθ+tan\frac{π}{4}}{1-tanθtan\frac{π}{4}}$=$\frac{1+tanθ}{1-tanθ}$=$\frac{1}{3}$，
解得tanθ=-$\frac{1}{2}$，
∴tanθ=$\frac{sinθ}{cosθ}$=-$\frac{1}{2}$，
∴2sinθ=-cosθ，
∵sin²θ+cos²θ=5sin²θ=1，θ為第二象限角
∴sinθ=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，cosθ=-$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
∴sinθ+cosθ=-$\frac{\sqrt{5}}{5}$．
故答案為：-$\frac{1}{2}$，-$\frac{\sqrt{5}}{5}$．

點評 本題考查了兩角和差的正切公式，正弦和余弦的關系，屬于基礎題．